Encontre as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y, utilizando a definição:
a) f(x, y)=6 x+3 y-7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando a definição de derivada parcial. Para isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como aplicá-las a funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de uma função em relação a uma das suas variáveis é a taxa de variação da função quando apenas essa variável varia, mantendo as outras constantes. Ou seja, para encontrar , mantemos constante e derivamos em relação a .

Passo 3

Vamos começar encontrando partial fpartial x = limh to 0 f(x + h, y) - f(x, y)h . A definição da derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Substituindo f(x + h, y) = 6(x + h) + 3y - 7 = 6x + 6h + 3y - 7 na definição:
partial fpartial x = limh to 0 (6x + 6h + 3y - 7) - (6x + 3y - 7)h
Então,

Passo 5

Simplificando a expressão dentro do limite:
partial fpartial x = limh to 0 6hh = limh to 0 6 = 6

Passo 6

Agora, vamos encontrar partial fpartial y = limk to 0 f(x, y + k) - f(x, y)k . A definição da derivada parcial em relação a é:

Passo 7

Substituindo f(x, y + k) = 6x + 3(y + k) - 7 = 6x + 3y + 3k - 7 :
partial fpartial y = limk to 0 (6x + 3y + 3k - 7) - (6x + 3y - 7)k
Então,

Passo 8

Simplificando a expressão dentro do limite:
partial fpartial y = limk to 0 3kk = limk to 0 3 = 3

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = 6 e partial fpartial y = 3

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