Encontre as derivadas parciais
e
, utilizando a definição:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a definição de derivada parcial. Para isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como aplicá-las a funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de uma função em relação a uma das suas variáveis é a taxa de variação da função quando apenas essa variável varia, mantendo as outras constantes. Ou seja, para encontrar
, mantemos
constante e derivamos em relação a
.
Passo 3
Vamos começar encontrando
. A definição da derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Substituindo
na definição:
Então,
Passo 5
Simplificando a expressão dentro do limite:
Passo 6
Agora, vamos encontrar
. A definição da derivada parcial em relação a
é:
Passo 7
Substituindo
:
Então,
Passo 8
Simplificando a expressão dentro do limite:
Resposta
As derivadas parciais são: