Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
f) f(x, y) = e^(x + y) + y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais da função . As derivadas parciais são usadas para ver como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante. Para resolver isso, a gente precisa aplicar as regras de derivação para funções exponenciais e lembrar que, ao derivar com relação a uma variável, a outra é tratada como uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que a gente denota por . Quando derivamos em relação a , o é considerado uma constante. A função fica .
A derivada de em relação a é (porque a derivada de em relação a é e, como estamos derivando em relação a , tratamos como constante). A derivada de em relação a é zero, já que é uma constante.
Então, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é . Nessa vez, ao derivar em relação a , o é tratado como constante.
A derivada de em relação a também é (mesmo raciocínio de antes). A derivada de em relação a é 1.
Portanto, .

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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