2,5 pontos) Dado o sistema linear
X' = (4, 1/2; -9, -2) X
ii1. Escreva a solução geral do sistema dado.
X1 = (-1 3) e^t, X2 = (-1 3) t e^t + (0 -1) e^t

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão quer. A gente tem um sistema de equações lineares dado pela equação diferencial , onde A é a matriz:
O objetivo é encontrar a solução geral desse sistema. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares e como resolver sistemas de equações lineares usando autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A. Autovalores são valores de lambda que satisfazem a equação , onde I é a matriz identidade. Vamos calcular o determinante:
Simplificando:
Agora, igualamos a zero:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os autovalores.

Passo 3

Após calcular, descobrimos que os autovalores são com multiplicidade 2. Isso significa que temos um autovalor repetido, o que indica que a solução geral terá termos envolvendo exponenciais e multiplicação por t.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a . Para isso, resolvemos :
[



]
Resolvendo isso, encontramos um autovetor associado, por exemplo, .

Passo 5

Como o autovalor tem multiplicidade 2, precisamos encontrar um vetor generalizado para construir a segunda solução. Resolvemos :
[


]
Resolvendo esse sistema, achamos .

Passo 6

Com o autovetor v e o vetor generalizado w, podemos escrever a solução geral do sistema:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A solução geral do sistema é:

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