pontos) Dado o sistema linear
ii1. Escreva a solução geral do sistema dado.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão quer. A gente tem um sistema de equações lineares dado pela equação diferencial , onde é a matriz:
O objetivo é encontrar a solução geral desse sistema. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares e como resolver sistemas de equações lineares usando autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Autovalores são valores de que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade. Vamos calcular o determinante:
Simplificando:
Agora, igualamos a zero:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os autovalores.

Passo 3

Após calcular, descobrimos que os autovalores são com multiplicidade 2. Isso significa que temos um autovalor repetido, o que indica que a solução geral terá termos envolvendo exponenciais e multiplicação por .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a . Para isso, resolvemos :
[



]
Resolvendo isso, encontramos um autovetor associado, por exemplo, .

Passo 5

Como o autovalor tem multiplicidade 2, precisamos encontrar um vetor generalizado para construir a segunda solução. Resolvemos :
[


]
Resolvendo esse sistema, achamos .

Passo 6

Com o autovetor e o vetor generalizado , podemos escrever a solução geral do sistema:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A solução geral do sistema é:

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f)
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c)
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g)

UNIFEI <br> Prova de Equações Diferenciais I - T3 <br> Professora:Gisele Leite 30/03/2017

Justifique todas as respostas!
A equação logística para a população (em milhares) no instante de uma certa espécie é dada por . (É claro que é não negativo).
a) Se a população inicial é de 3.000 (ou seja ), o que você pode dizer sobre ?