pontos) Dado o sistema linear
ii1. Escreva a solução geral do sistema dado.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão quer. A gente tem um sistema de equações lineares dado pela equação diferencial
, onde
é a matriz:
O objetivo é encontrar a solução geral desse sistema. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares e como resolver sistemas de equações lineares usando autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Autovalores são valores de
que satisfazem a equação
, onde
é a matriz identidade. Vamos calcular o determinante:
Simplificando:
Agora, igualamos a zero:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os autovalores.
Passo 3
Após calcular, descobrimos que os autovalores são
com multiplicidade 2. Isso significa que temos um autovalor repetido, o que indica que a solução geral terá termos envolvendo exponenciais e multiplicação por
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a
. Para isso, resolvemos
:
[
]
Resolvendo isso, encontramos um autovetor associado, por exemplo,
.
Passo 5
Como o autovalor tem multiplicidade 2, precisamos encontrar um vetor generalizado para construir a segunda solução. Resolvemos
:
[
]
Resolvendo esse sistema, achamos
.
Passo 6
Com o autovetor
e o vetor generalizado
, podemos escrever a solução geral do sistema:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A solução geral do sistema é: