Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de uma função de duas variáveis, ou seja, . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia. A regra do produto ajuda quando a gente tem duas funções multiplicando uma pela outra, e a regra da cadeia é útil quando temos funções compostas, tipo dentro de outra.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Primeiro, identifique as partes que estão se multiplicando: e .
Aplicando a regra do produto, a derivada será:
Agora, vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de em relação a :
    Usamos a regra do poder, que diz que .
  2. Derivada de em relação a :
    Aqui aplicamos a regra da cadeia. Primeiro, derivamos a função externa que dá , e depois multiplicamos pela derivada da função interna em relação a , que é .
Agora, juntando tudo:

Passo 3

Agora vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Aqui, é considerado uma constante em relação a , então só precisamos derivar com respeito a .
Usando novamente a regra da cadeia:
Calculando a derivada da função interna em relação a :
Portanto,
Agora, multiplicando pela constante :

Resposta

As derivadas parciais da função são:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo.
(k) .
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
g)
Calcule as integrais abaixo.
(m) .
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
j)