Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
i)
i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de uma função de duas variáveis, ou seja,
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia. A regra do produto ajuda quando a gente tem duas funções multiplicando uma pela outra, e a regra da cadeia é útil quando temos funções compostas, tipo dentro de outra.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Primeiro, identifique as partes que estão se multiplicando:
e
.
Aplicando a regra do produto, a derivada será:
Agora, vamos derivar cada parte:
-
Derivada de
em relação a : Usamos a regra do poder, que diz que. -
Derivada de
em relação a : Aqui aplicamos a regra da cadeia. Primeiro, derivamos a função externaque dá , e depois multiplicamos pela derivada da função interna em relação a , que é .
Agora, juntando tudo:
Passo 3
Agora vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Aqui,
é considerado uma constante em relação a
, então só precisamos derivar
com respeito a
.
Usando novamente a regra da cadeia:
Calculando a derivada da função interna
em relação a
:
Portanto,
Agora, multiplicando pela constante
:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo.
(k) .
(k)
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
g)
g)
Calcule as integrais abaixo.
(m) .
(m)
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
j)
j)