UNIFEI <br>
Prova de Equações Diferenciais I - T3 <br> Professora:Gisele Leite 30/03/2017
Justifique todas as respostas!
A equação logística para a população
(em milhares) no instante
de uma certa espécie é dada por
. (É claro que
é não negativo).
a) Se a população inicial é de 3.000 (ou seja
), o que você pode dizer sobre
?
a) Se a população inicial é de 3.000 (ou seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação logística que descreve a população
de uma espécie ao longo do tempo
. A equação é:
Além disso, sabemos que a população inicial é de 3.000 indivíduos, ou seja,
(em milhares). Nosso objetivo aqui é descobrir o que acontece com a população conforme o tempo
vai para o infinito, ou seja, encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação logística. Ela é usada para modelar o crescimento de populações onde há um limite máximo que o ambiente pode sustentar, chamado de “capacidade de carga”. A equação geral tem a forma:
Onde:
-
é a taxa de crescimento, -
é a capacidade de carga.
Comparando com a nossa equação
, percebemos que:
Isso porque podemos reescrever a equação logística da seguinte forma:
Passo 3
Para encontrar o limite da população quando
tende ao infinito, precisamos identificar os pontos de equilíbrio da equação diferencial. Os pontos de equilíbrio são os valores de
onde
.
Então, vamos resolver:
Factorando
:
Assim, temos duas soluções:
Esses são os pontos de equilíbrio. Agora, vamos analisar qual deles a população vai se aproximar considerando a condição inicial
.
Passo 4
Como a população inicial é
, que está acima da capacidade de carga
, a população vai decrescer até atingir o equilíbrio estável
.
Isso acontece porque, quando
, a taxa de crescimento
fica negativa, fazendo a população diminuir até alcançar o ponto de equilíbrio.
Resposta
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Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
g)
g)
ii1. Escreva a solução geral do sistema dado.
Se
qual é
?