UNIFEI <br> 1^ a Prova de Equações Diferenciais I - T3 <br> Professora:Gisele Leite 30/03/2017

Justifique todas as respostas!
[2,0] 1) A equação logística para a população p (em milhares) no instante t de uma certa espécie é dada por d pd t=3 p-2 p^2. (É claro que p é não negativo).
a) Se a população inicial é de 3.000 (ou seja p(0)=3 ), o que você pode dizer sobre lim t infty p(t) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação logística que descreve a população d pd t = 3p - 2p^2 de uma espécie ao longo do tempo . A equação é:
Além disso, sabemos que a população inicial é de 3.000 indivíduos, ou seja, (em milhares). Nosso objetivo aqui é descobrir o que acontece com a população conforme o tempo vai para o infinito, ou seja, encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação logística. Ela é usada para modelar o crescimento de populações onde há um limite máximo que o ambiente pode sustentar, chamado de “capacidade de carga”. A equação geral tem a forma:
d pd t = r p (1 - pK)
Onde:
  • r = 3 e K = 32 é a taxa de crescimento,
  • d pd t = 3p (1 - 2p3) = 3p - 2p^2 é a capacidade de carga.
Comparando com a nossa equação , percebemos que:
Isso porque podemos reescrever a equação logística da seguinte forma:

Passo 3

Para encontrar o limite da população quando 3p - 2p^2 = 0 tende ao infinito, precisamos identificar os pontos de equilíbrio da equação diferencial. Os pontos de equilíbrio são os valores de p (3 - 2p) = 0 onde p = 0 ou 3 - 2p = 0 Rightarrow p = 32 .
Então, vamos resolver:
Factorando :
Assim, temos duas soluções:
Esses são os pontos de equilíbrio. Agora, vamos analisar qual deles a população vai se aproximar considerando a condição inicial .

Passo 4

Como a população inicial é , que está acima da capacidade de carga , a população vai decrescer até atingir o equilíbrio estável .
Isso acontece porque, quando , a taxa de crescimento fica negativa, fazendo a população diminuir até alcançar o ponto de equilíbrio.

Resposta

limt to infty p(t) = 32 (ou 1.500 indivíduos) í

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