Determine as derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício de encontrar as derivadas parciais de segunda ordem para a função . Isso envolve calcular as derivadas parciais em relação a e duas vezes. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções trigonométricas e como aplicar as regras de derivação em várias etapas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a , que chamaremos de . A função é:
Ao derivar em relação a , tratamos como uma constante. Sabemos que a derivada de em relação a é , e pelo regra da cadeia, se , então . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a , denotada por . A função original é:
Ao derivar em relação a , tratamos como uma constante. A derivada de em relação a é 1, ent��o:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a novamente, ou seja, . Partimos de:
Derivando em relação a :
Sabemos que . Aqui, , então . Logo:

Passo 5

Vamos agora calcular a derivada mista , ou seja, derivar em relação a . Temos:
Derivando em relação a :

Passo 6

Da mesma forma, vamos calcular a derivada mista , que é derivar em relação a . Sabemos que:
Derivando em relação a :

Passo 7

Por último, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a , ou seja, . Partimos de:
Derivando em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
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Use a Regra da Cadeia para determinar .
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