Determine as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício de encontrar as derivadas parciais de segunda ordem para a função
. Isso envolve calcular as derivadas parciais em relação a
e
duas vezes. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções trigonométricas e como aplicar as regras de derivação em várias etapas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, que chamaremos de
. A função é:
Ao derivar em relação a
, tratamos
como uma constante. Sabemos que a derivada de
em relação a
é
, e pelo regra da cadeia, se
, então
. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. A função original é:
Ao derivar em relação a
, tratamos
como uma constante. A derivada de
em relação a
é 1, ent��o:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
novamente, ou seja,
. Partimos de:
Derivando
em relação a
:
Sabemos que
. Aqui,
, então
. Logo:
Passo 5
Vamos agora calcular a derivada mista
, ou seja, derivar
em relação a
. Temos:
Derivando em relação a
:
Passo 6
Da mesma forma, vamos calcular a derivada mista
, que é derivar
em relação a
. Sabemos que:
Derivando em relação a
:
Passo 7
Por último, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Partimos de:
Derivando em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são:
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Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
.
Use a Regra da Cadeia para determinar
.
.