Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
z = y cos(x - y), P(2, 2, 2).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar a equação do plano tangente à superfície definida por no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície nas direções de e , respectivamente.
Calculando :
Calculando :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto , ou seja, quando e :

Passo 4

Com as derivadas avaliadas, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Ou, rearranjando:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é .

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