Use a Regra da Cadeia para determinar
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a derivada de
em relação a
usando a Regra da Cadeia. Aqui,
é uma função de
e
, que por sua vez dependem de
. Vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia para funções de múltiplas variáveis aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas:
Nossa missão é encontrar
, que é a taxa de variação de
em relação a
.
Passo 3
A Regra da Cadeia para funções de várias variáveis nos diz que:
Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e também as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
Simplificando:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
.
Determine as derivadas parciais de segunda ordem.
Se
, mostre que
.
Seja
, mostre que
.