Use a Regra da Cadeia para determinar .
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a derivada de em relação a usando a Regra da Cadeia. Aqui, é uma função de e , que por sua vez dependem de . Vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia para funções de múltiplas variáveis aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas:
Nossa missão é encontrar , que é a taxa de variação de em relação a .

Passo 3

A Regra da Cadeia para funções de várias variáveis nos diz que:
Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , e também as derivadas de e em relação a .

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
Simplificando:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
.
Determine as derivadas parciais de segunda ordem.
Se , mostre que .
Seja , mostre que .