Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função . Vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais de funções de duas variáveis. Precisamos saber como calcular essas derivadas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais da função
em relação a
e
.
Passo 3
Derivando com respeito a
:
Aqui, tratamos
como uma constante porque estamos derivando em relação a
.
Passo 4
Agora, derivando com respeito a
:
Usamos a regra da cadeia para derivar
.
Passo 5
Com as primeiras derivadas em mãos, vamos calcular as derivadas de segunda ordem. Isso significa derivar novamente
e
em relação a
e
.
Passo 6
Derivando
com respeito a
:
Isso porque a derivada de
é .
Passo 7
Derivando
com respeito a
:
Aqui, derivamos
em relação a
, resultando em
.
Passo 8
Derivando
com respeito a
:
Da mesma forma que no passo anterior, a derivada de em relação a
é
.
Passo 9
Derivando
com respeito a
:
Aqui, a segunda derivada de
em relação a
volta a ser
, já que a derivada de
é
.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função são:
Exercícios relacionados
Determine a inclinação da reta tangente à curva gerada pela interseção do gráfico da função:
com o plano
, no ponto
.
Determine a inclinação da reta tangente à curva gerada pela interseção do gráfico da função:
com o plano
, no ponto (4,2).
Suponha
, com
diferenciáveis. Se
e
, determine as derivadas parciais da
em
.
Determine o vetor gradiente da funçāo em
e a derivada direcional em
na direção do vetor
.
e