Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função:
f(x, y) = e^(-y) sen(x)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função . Vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais de funções de duas variáveis. Precisamos saber como calcular essas derivadas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais da função em relação a e .

Passo 3

Derivando com respeito a :
Aqui, tratamos como uma constante porque estamos derivando em relação a .

Passo 4

Agora, derivando com respeito a :
Usamos a regra da cadeia para derivar .

Passo 5

Com as primeiras derivadas em mãos, vamos calcular as derivadas de segunda ordem. Isso significa derivar novamente e em relação a e .

Passo 6

Derivando com respeito a :
Isso porque a derivada de é .

Passo 7

Derivando com respeito a :
Aqui, derivamos em relação a , resultando em .

Passo 8

Derivando com respeito a :
Da mesma forma que no passo anterior, a derivada de em relação a é .

Passo 9

Derivando com respeito a :
Aqui, a segunda derivada de em relação a volta a ser , já que a derivada de é .

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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