Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso envolve calcular as derivadas de primeira ordem em relação a
e
, e depois derivar essas novamente para obter as de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que a derivada de
é
.
Aqui,
e
. Então:
Aplicando a regra:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra do quociente.
Aqui,
(que é constante em relação a
) e
. Então:
Aplicando a regra:
Passo 4
Vamos agora encontrar a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa derivar
em relação a
.
Temos
. Aqui, tratamos
como constante. Usamos a regra da potência:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial mista
, que é a derivada de
em relação a
.
Temos
. Derivando em relação a
:
Simplificando:
Passo 6
Por fim, vamos encontrar a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso envolve derivar
em relação a
.
Temos
. Derivando em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são:
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: Considere a função
Mostre que:
f é diferenciável em .
f é diferenciável em
Considere a função
.
Determine o domínio de .
Determine o domínio de
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto
. Justifique.
.
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto
. Justifique.
.