Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função: f(x, y) = x / (x + y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso envolve calcular as derivadas de primeira ordem em relação a e , e depois derivar essas novamente para obter as de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que a derivada de é .
Aqui, e . Então:
Aplicando a regra:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra do quociente.
Aqui, (que é constante em relação a ) e . Então:
Aplicando a regra:

Passo 4

Vamos agora encontrar a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa derivar em relação a .
Temos . Aqui, tratamos como constante. Usamos a regra da potência:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial mista , que é a derivada de em relação a .
Temos . Derivando em relação a :
Simplificando:

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso envolve derivar em relação a .
Temos . Derivando em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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Função diferenciável que não é de classe C^1 : Considere a função
f(x, y)=l (x^2+y^2) sen(1raizx^2+y^2), se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
Mostre que:
f é diferenciável em (0,0).
Considere a função f(x, y) = arctg(x^2 - y^2).
Determine o domínio de f.
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto P. Justifique.
f(x, y) = arctg(x + 2y), P = (1, 0).
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto P. Justifique.
f(x, y) = { (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2), 0, se (x, y) ≠ (0,0) = (0,0) }.