Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto P. Justifique.
f(x, y) = arctg(x + 2y), P = (1, 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função é diferenciável no ponto . Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com a diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , e verificar se elas são contínuas no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Lembrando que a derivada da função em relação a é .
Para a derivada parcial em relação a :
Para a derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Em seguida, precisamos verificar se as derivadas parciais são contínuas no ponto . A função é contínua para todos os valores de e , já que o denominador nunca é zero. Portanto, tanto quanto são contínuas em .

Passo 5

Como as derivadas parciais existem e são contínuas no ponto , podemos concluir que a função é diferenciável nesse ponto.

Resposta

A função é diferenciável no ponto .

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