Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto
. Justifique.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função
é diferenciável no ponto
. Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com a diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, e verificar se elas são contínuas no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Lembrando que a derivada da função
em relação a
é
.
Para a derivada parcial em relação a
:
Para a derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Em seguida, precisamos verificar se as derivadas parciais são contínuas no ponto
. A função
é contínua para todos os valores de
e
, já que o denominador nunca é zero. Portanto, tanto
quanto
são contínuas em
.
Passo 5
Como as derivadas parciais existem e são contínuas no ponto
, podemos concluir que a função
é diferenciável nesse ponto.
Resposta
A função
é diferenciável no ponto
.