Função diferenciável que não é de classe
: Considere a função
Mostre que:
f é diferenciável em
.
f é diferenciável em
Passo 1
Então, a gente tem uma função
que é diferente dependendo de
. Queremos mostrar que essa função é diferenciável no ponto
. Para isso, vamos usar os conceitos de cálculo diferencial, como limites e derivadas parciais. Vamos precisar verificar se as derivadas parciais existem nesse ponto e se a função se comporta bem quando nos aproximamos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em
. As derivadas parciais são as taxas de variação da função em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial em relação a
no ponto
. Usamos a definição de derivada:
Sabemos que
, então:
Como
está sempre entre
e
, o limite de
quando
é
.
Então,
.
Passo 4
De maneira similar, vamos calcular a derivada parcial em relação a
no ponto
:
Novamente,
está entre
e
, então o limite é
.
Portanto,
.
Passo 5
Agora que sabemos que as derivadas parciais existem e são iguais a zero em
, precisamos verificar se a função é bem aproximada por uma função linear perto desse ponto. Ou seja, precisamos checar se:
Sabendo que
e
, a expressão fica:
Como
está entre
e
, temos que:
E sabemos que
quando
. Então, pelo teorema do sanduíche, o limite é
.
Resposta
Portanto, a função
é diferenciável no ponto
.