Função diferenciável que não é de classe C^1 : Considere a função
f(x, y)=l (x^2+y^2) sen(1raizx^2+y^2), se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
Mostre que:
f é diferenciável em (0,0).

Passo 1

Então, a gente tem uma função f(x, y) que é diferente dependendo de (x, y). Queremos mostrar que essa função é diferenciável no ponto (0,0). Para isso, vamos usar os conceitos de cálculo diferencial, como limites e derivadas parciais. Vamos precisar verificar se as derivadas parciais existem nesse ponto e se a função se comporta bem quando nos aproximamos de (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de f em (0,0). As derivadas parciais são as taxas de variação da função em relação a x e y.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial em relação a x no ponto (0,0). Usamos a definição de derivada:
fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h
Sabemos que f(0,0) = 0, então:
fx(0,0) = limh to 0 (h^2 + 0^2)sin(1raizh^2 + 0^2)h = limh to 0 h sin(1|h|)
Como sin(1|h|) está sempre entre -1 e 1, o limite de h sin(1|h|) quando h to 0 é 0.
Então, fx(0,0) = 0.

Passo 4

De maneira similar, vamos calcular a derivada parcial em relação a y no ponto (0,0):
fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k = limk to 0 (0^2 + k^2)sin(1raiz0^2 + k^2)k = limk to 0 k sin(1|k|)
Novamente, sin(1|k|) está entre -1 e 1, então o limite é 0.
Portanto, fy(0,0) = 0.

Passo 5

Agora que sabemos que as derivadas parciais existem e são iguais a zero em (0,0), precisamos verificar se a função é bem aproximada por uma função linear perto desse ponto. Ou seja, precisamos checar se:
lim(h,k) to (0,0) f(h,k) - f(0,0) - fx(0,0)h - fy(0,0)kraizh^2 + k^2 = 0
Sabendo que f(0,0) = 0 e fx(0,0) = fy(0,0) = 0, a expressão fica:
lim(h,k) to (0,0) f(h,k)raizh^2 + k^2 = lim(h,k) to (0,0) (h^2 + k^2)sin(1raizh^2 + k^2)raizh^2 + k^2 = lim(h,k) to (0,0) raizh^2 + k^2 sin(1raizh^2 + k^2)
Como sin está entre -1 e 1, temos que:
|raizh^2 + k^2 sin(1raizh^2 + k^2)| <= raizh^2 + k^2
E sabemos que raizh^2 + k^2 to 0 quando (h,k) to (0,0). Então, pelo teorema do sanduíche, o limite é 0.

Resposta

Portanto, a função f(x, y) é diferenciável no ponto (0,0).

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