Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função .

Passo 1

Beleza! O exercício pede para determinar as derivadas parciais de segunda ordem da função . Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira ordem primeiro e depois derivar essas derivadas novamente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa derivar em relação a e depois em relação a , tratando a outra variável como constante.

Passo 3

Derivando em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso envolve derivar novamente as derivadas que encontramos no passo anterior.

Passo 5

Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :

Resposta

Todas as derivadas parciais de segunda ordem da função são iguais a zero:

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Encontre a derivada direcional de f em P na direção e no sentido de um vetor que faça, no sentido anti-horário, um ângulo com o eixo positivo. .
Determine o diferencial da função: .
Mostre que a função satisfaz a equação de Laplace
.
Mostre que as funções sen e sen são diferenciáveis.