Determine o diferencial da função:
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o diferencial da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos precisar entender o que é o diferencial de uma função e como aplicar as derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. A derivada parcial em relação a
(
) mede como a função muda quando apenas
varia, mantendo
constante. Já a derivada parcial em relação a
(
) mede a variação quando apenas
varia.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto
:
Passo 5
O diferencial de
no ponto
é dado por:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 6
Para encontrar o diferencial na direção do vetor
, aplicamos
a
:
Resposta
O diferencial da função
no ponto
na direção do vetor
é igual a
.
Exercícios relacionados
Utilize a regra da cadeia para determinar
.
.
Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de
são iguais.
.
Encontre a derivada direcional de f em P na direção e no sentido de um vetor que faça, no sentido anti-horário, um ângulo
com o eixo
positivo.
.
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
.