Determine o diferencial da função: f(x, y) = ln(1 + x^2 + y) ; P = (0, 0) ; u = -1/√10 * i - 3/√10 * j.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o diferencial da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender o que é o diferencial de uma função e como aplicar as derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A derivada parcial em relação a ( ) mede como a função muda quando apenas varia, mantendo constante. Já a derivada parcial em relação a ( ) mede a variação quando apenas varia.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :

Passo 5

O diferencial de no ponto é dado por:
Substituindo os valores encontrados:

Passo 6

Para encontrar o diferencial na direção do vetor , aplicamos a :

Resposta

O diferencial da função no ponto na direção do vetor é igual a .

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