Determine o diferencial da função: .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o diferencial da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender o que é o diferencial de uma função e como aplicar as derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A derivada parcial em relação a ( ) mede como a função muda quando apenas varia, mantendo constante. Já a derivada parcial em relação a ( ) mede a variação quando apenas varia.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :

Passo 5

O diferencial de no ponto é dado por:
Substituindo os valores encontrados:

Passo 6

Para encontrar o diferencial na direção do vetor , aplicamos a :

Resposta

O diferencial da função no ponto na direção do vetor é igual a .

Exercícios relacionados

Utilize a regra da cadeia para determinar . .
Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de são iguais. .
Encontre a derivada direcional de f em P na direção e no sentido de um vetor que faça, no sentido anti-horário, um ângulo com o eixo positivo. .
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função .