Mostre que a função satisfaz a equação de Laplace
.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para mostrar que a função satisfaz a equação de Laplace, que é dada por:
Para resolver isso, a gente vai precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função em relação a e , e depois somar essas derivadas para verificar se o resultado é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a :
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a :

Passo 3

Em seguida, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a :
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos somar as duas segundas derivadas que calculamos:

Resposta

A função satisfaz a equação de Laplace, pois:

Exercícios relacionados

Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função .
Encontre a derivada direcional de f em P na direção e no sentido de um vetor que faça, no sentido anti-horário, um ângulo com o eixo positivo. .
Mostre que as funções sen e sen são diferenciáveis.
Encontre a derivada direcional de f em P na direção e no sentido de um vetor que faça, no sentido anti-horário, um ângulo com o eixo positivo. .