Mostre que a função satisfaz a equação de Laplace
partial^2 zpartial x^2+partial^2 zpartial y^2=0
z=x^2-y^2+2 x y.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para mostrar que a função partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 = 0 satisfaz a equação de Laplace, que é dada por:
Para resolver isso, a gente vai precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função em relação a e , e depois somar essas derivadas para verificar se o resultado é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial zpartial x = 2x + 2y em relação a partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x (2x + 2y) = 2 :
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a :

Passo 3

Em seguida, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial zpartial y = -2y + 2x em relação a partial^2 zpartial y^2 = partialpartial y (-2y + 2x) = -2 :
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos somar as duas segundas derivadas que calculamos:
partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 = 2 + (-2) = 0

Resposta

A função partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 = 0 satisfaz a equação de Laplace, pois:

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