Mostre que as funções sen e sen são diferenciáveis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que as funções e são diferenciáveis. Isso tá ligado a calculo diferencial, especificamente à diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Pra resolver, a gente vai precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e calcular as derivadas parciais dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que é diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por uma função linear naquele ponto. Isso significa que as derivadas parciais existem e são contínuas por perto. Então, pra mostrar que as funções são diferenciáveis, a gente vai calcular as derivadas parciais e verificar se elas são contínuas.

Passo 3

Vamos começar com a primeira função: .
Calculando as derivadas parciais:
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, observamos que as derivadas parciais e existem para todos os valores de e . Além disso, essas derivadas são funções contínuas porque são combinações de funções polinomiais e trigonométricas, que são contínuas em todo o domínio. Portanto, pela definição, é diferenciável em todo lugar.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda função: .
Calculando as derivadas parciais:
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 6

Analisando as derivadas parciais , e , vemos que elas existem para todos os valores de , e . Além disso, essas derivadas são contínuas porque novamente são combinações de funções polinomiais e trigonométricas, que são contínuas em todo o domínio. Assim, pela definição, é diferenciável em todo lugar.

Resposta

As funções e são diferenciáveis em todos os seus domínios.

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.
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