Mostre que as funções
sen
e
sen
são diferenciáveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que as funções e são diferenciáveis. Isso tá ligado a calculo diferencial, especificamente à diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Pra resolver, a gente vai precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e calcular as derivadas parciais dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que é diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por uma função linear naquele ponto. Isso significa que as derivadas parciais existem e são contínuas por perto. Então, pra mostrar que as funções são diferenciáveis, a gente vai calcular as derivadas parciais e verificar se elas são contínuas.
Passo 3
Vamos começar com a primeira função: .
Calculando as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
: - Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, observamos que as derivadas parciais e
existem para todos os valores de
e
. Além disso, essas derivadas são funções contínuas porque são combinações de funções polinomiais e trigonométricas, que são contínuas em todo o domínio. Portanto, pela definição, é diferenciável em todo lugar.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda função: .
Calculando as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
: - Derivada parcial em relação a
: - Derivada parcial em relação a
:
Passo 6
Analisando as derivadas parciais , e
, vemos que elas existem para todos os valores de
,
e
. Além disso, essas derivadas são contínuas porque novamente são combinações de funções polinomiais e trigonométricas, que são contínuas em todo o domínio. Assim, pela definição, é diferenciável em todo lugar.
Resposta
As funções e são diferenciáveis em todos os seus domínios.
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Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
.
Encontre a derivada direcional de f em P na direção e no sentido de um vetor que faça, no sentido anti-horário, um ângulo
com o eixo
positivo.
.
Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver.
.