Encontre a derivada direcional de f em P na direção e no sentido de um vetor que faça, no sentido anti-horário, um ângulo
com o eixo
positivo.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a derivada direcional da função
no ponto
. Essa derivada deve ser calculada na direção de um vetor que forma, no sentido anti-horário, um ângulo
com o eixo
positivo. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas parciais, gradientes e como determinar vetores unitários a partir de um ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
.
Primeiro, calculamos
no ponto
:
Então:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 4
Agora, precisamos determinar o vetor unitário na direção do ângulo
. Um vetor unitário na direção de
é dado por:
Substituindo
:
Então:
Passo 5
Com o gradiente da função no ponto
e o vetor unitário na direção desejada, podemos calcular a derivada direcional. O gradiente de
é:
No ponto
:
Passo 6
Finalmente, a derivada direcional de
na direção de
é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional de
em
na direção do vetor especificado é
.
Exercícios relacionados
Determine o diferencial da função:
.
Utilize a regra da cadeia para determinar
.
.
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
.
Mostre que a função satisfaz a equação de Laplace