Encontre a derivada direcional de f em P na direção e no sentido de um vetor que faça, no sentido anti-horário, um ângulo com o eixo positivo. .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a derivada direcional da função no ponto . Essa derivada deve ser calculada na direção de um vetor que forma, no sentido anti-horário, um ângulo com o eixo positivo. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas parciais, gradientes e como determinar vetores unitários a partir de um ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Primeiro, calculamos no ponto :
Então:
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 4

Agora, precisamos determinar o vetor unitário na direção do ângulo . Um vetor unitário na direção de é dado por:
Substituindo :
Então:

Passo 5

Com o gradiente da função no ponto e o vetor unitário na direção desejada, podemos calcular a derivada direcional. O gradiente de é:
No ponto :

Passo 6

Finalmente, a derivada direcional de na direção de é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional de em na direção do vetor especificado é .

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Utilize a regra da cadeia para determinar . .
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Mostre que a função satisfaz a equação de Laplace
.