Prove que os limites abaixo não existem:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que o limite não existe. Vamos usar conceitos de limites em cálculo multivariável e analisar o comportamento da função quando se aproxima de por caminhos diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que um limite não existe. Em cálculo multivariável, para o limite existir, o valor da função deve ser o mesmo independente do caminho que a gente escolhe para chegar ao ponto . Então, se encontrarmos dois caminhos diferentes que resultem em valores diferentes, o limite não existe.

Passo 3

Vamos analisar dois caminhos diferentes para :
Caminho 1:
Quando , a função fica:
À medida que , .
Caminho 2:
Quando , a função fica:
Sabemos que está entre e , então também tende para ou , dependendo do sinal de . Porém, por os valores de oscilando, o limite não se estabiliza para um único valor.

Passo 4

Com esses dois caminhos, vimos que pelo primeiro caminho o limite tende a e pelo segundo, o comportamento é indefinido devido à oscilação da função cosseno. Como os valores não são consistentes e não convergem para o mesmo número, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados

Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
;
Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
.
Determine os limites:
Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função: