Prove que os limites abaixo não existem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que o limite
não existe. Vamos usar conceitos de limites em cálculo multivariável e analisar o comportamento da função quando
se aproxima de
por caminhos diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que um limite não existe. Em cálculo multivariável, para o limite existir, o valor da função deve ser o mesmo independente do caminho que a gente escolhe para chegar ao ponto
. Então, se encontrarmos dois caminhos diferentes que resultem em valores diferentes, o limite não existe.
Passo 3
Vamos analisar dois caminhos diferentes para
:
Caminho 1:
Quando , a função fica:
Quando
À medida que
,
.
Caminho 2:
Quando , a função fica:
Quando
Sabemos que
está entre
e
, então
também tende para
ou
, dependendo do sinal de
. Porém, por os valores de
oscilando, o limite não se estabiliza para um único valor.
Passo 4
Com esses dois caminhos, vimos que pelo primeiro caminho o limite tende a
e pelo segundo, o comportamento é indefinido devido à oscilação da função cosseno. Como os valores não são consistentes e não convergem para o mesmo número, concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite
não existe.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
;
Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
.
Determine os limites:
Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função: