Resolva a integral usando o metodo adequado:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente o cosseno elevado à quarta potência. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas que ajudam a simplificar potências de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que elevar o cosseno a uma potência par pode ser simplificado usando a identidade de potência para o cosseno. A identidade geral para é:
Mas, para simplificar, podemos usar a identidade para :
Vamos aplicar essa identidade duas vezes para :
Primeiro, escrevemos como :

Passo 3

Agora, expandimos o quadrado:
Temos novamente um , que podemos simplificar usando a mesma identidade:
Substituindo de volta:

Passo 4

Vamos simplificar os termos dentro dos parênteses:
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
Integrando cada parte:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
.
Esboce o grafico da função no intervalo dado. Depois intgre a função no intervalo dado e determine a área da região entre o grafico e o eixo :
.
Determine a primitiva para cada função. Verifique suas respostas derivando.
;
Determine as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções definidas em um subconjunto aberto de . .