Resolva a integral usando o metodo adequado:
integral cos ^4(2 x) d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente o cosseno elevado à quarta potência. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas que ajudam a simplificar potências de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que elevar o cosseno a uma potência par pode ser simplificado usando a identidade de potência para o cosseno. A identidade geral para cos^2n(theta) = 12^2n binom2nn + 12^2n-1 sumk=1^n binom2nn-k cos(2ktheta) é:
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2
Mas, para simplificar, podemos usar a identidade para cos^4(2x) = ( 1 + cos(4x)2 )^2 :
Vamos aplicar essa identidade duas vezes para :
Primeiro, escrevemos como :

Passo 3

Agora, expandimos o quadrado:
cos^4(2x) = 14 (1 + 2cos(4x) + cos^2(4x))
Temos novamente um cos^2(4x) = 1 + cos(8x)2 , que podemos simplificar usando a mesma identidade:
cos^4(2x) = 14 (1 + 2cos(4x) + 1 + cos(8x)2)
Substituindo de volta:

Passo 4

Vamos simplificar os termos dentro dos parênteses:
1 + 2cos(4x) + 12 + cos(8x)2 = 32 + 2cos(4x) + cos(8x)2
Então, temos:
cos^4(2x) = 14 ( 32 + 2cos(4x) + cos(8x)2 ) = 38 + 12cos(4x) + 18cos(8x)

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral cos^4(2x) , dx = integral ( 38 + 12cos(4x) + 18cos(8x) ) dx
Integrando cada parte:
38 integral dx = 38x
12 integral cos(4x) , dx = 12 cdot sin(4x)4 = sin(4x)8
18 integral cos(8x) , dx = 18 cdot sin(8x)8 = sin(8x)64

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
integral cos^4(2x) , dx = 38x + sin(4x)8 + sin(8x)64 + C
onde é a constante de integração.

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