Resolva a integral usando o metodo adequado:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente o cosseno elevado à quarta potência. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas que ajudam a simplificar potências de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que elevar o cosseno a uma potência par pode ser simplificado usando a identidade de potência para o cosseno. A identidade geral para
é:
Mas, para simplificar, podemos usar a identidade para
:
Vamos aplicar essa identidade duas vezes para
:
Primeiro, escrevemos
como
:
Passo 3
Agora, expandimos o quadrado:
Temos novamente um
, que podemos simplificar usando a mesma identidade:
Substituindo de volta:
Passo 4
Vamos simplificar os termos dentro dos parênteses:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Integrando cada parte:
Resposta
Juntando tudo, a integral é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
.
Esboce o grafico da função no intervalo dado. Depois intgre a função no intervalo dado e determine a área da região entre o grafico e o eixo
:
.
Determine a primitiva para cada função. Verifique suas respostas derivando.
;
Determine as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções
definidas em um subconjunto aberto de
.
.