Determine as derivadas primeira e segunda de cada função a seguir:
f(x) = x sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a primeira e a segunda derivada da função . A matéria que vamos usar aqui é cálculo, mais especificamente derivadas de funções que são produtos de duas funções (neste caso, e ). Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e as derivadas básicas de funções trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . Para isso, usamos a Regra do Produto, que diz que se temos uma função , então a derivada é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :

Passo 4

Aplicando a Regra do Produto:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Isso significa que vamos derivar novamente .

Passo 6

Derivando termo a termo:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
    Aqui, usamos novamente a Regra do Produto, com e .
  • Derivada de :
  • Derivada de :
Aplicando a Regra do Produto:

Passo 7

Agora, juntando tudo para a segunda derivada:

Resposta

A primeira derivada de é e a segunda derivada é .

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