Determine as derivadas primeira e segunda de cada função a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a primeira e a segunda derivada da função . A matéria que vamos usar aqui é cálculo, mais especificamente derivadas de funções que são produtos de duas funções (neste caso, e ). Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e as derivadas básicas de funções trigonométricas e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a **primeira derivada** de . Para isso, usamos a **Regra do Produto**, que diz que se temos uma função , então a derivada é:
Aqui, e .
Passo 3
Vamos derivar cada parte:
1. Derivada de :
2. Derivada de :
Passo 4
Aplicando a Regra do Produto:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a **segunda derivada** . Isso significa que vamos derivar novamente .
Passo 6
Derivando termo a termo:
1. Derivada de :
2. Derivada de :
Aqui, usamos novamente a **Regra do Produto**, com e .
- Derivada de :
- Derivada de :
Aplicando a Regra do Produto:
Passo 7
Agora, juntando tudo para a segunda derivada:
Resposta
A primeira derivada de é e a segunda derivada é .
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e