Determine as derivadas primeira e segunda de cada função a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a primeira e a segunda derivada da função . A matéria que vamos usar aqui é cálculo, mais especificamente derivadas de funções que são produtos de duas funções (neste caso, e ). Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e as derivadas básicas de funções trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a **primeira derivada** de . Para isso, usamos a **Regra do Produto**, que diz que se temos uma função , então a derivada é: Aqui, e .

Passo 3

Vamos derivar cada parte: 1. Derivada de : 2. Derivada de :

Passo 4

Aplicando a Regra do Produto:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a **segunda derivada** . Isso significa que vamos derivar novamente .

Passo 6

Derivando termo a termo: 1. Derivada de : 2. Derivada de : Aqui, usamos novamente a **Regra do Produto**, com e . - Derivada de : - Derivada de : Aplicando a Regra do Produto:

Passo 7

Agora, juntando tudo para a segunda derivada:

Resposta

A primeira derivada de é e a segunda derivada é .

Exercícios relacionados

Determine a transformada de Laplace das seguintes funções, definidas para (Escolher dois para entregar).
Resolva os problemas de valor inicial, utilizando o método da transformada de Laplace (Escolher um para entregar).
Usando a definição de derivada, determine o coeficiente angular, da reta tangente à curva no ponto em cada caso. e