Determine as derivadas primeira e segunda de cada função a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a primeira e a segunda derivada da função . A matéria que vamos usar aqui é cálculo, mais especificamente derivadas de funções que são produtos de duas funções (neste caso,
e ). Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e as derivadas básicas de funções trigonométricas e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . Para isso, usamos a Regra do Produto, que diz que se temos uma função
, então a derivada
é:
Aqui,
e .
Passo 3
Vamos derivar cada parte:
- Derivada de
:
- Derivada de :
Passo 4
Aplicando a Regra do Produto:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Isso significa que vamos derivar novamente .
Passo 6
Derivando termo a termo:
- Derivada de :
- Derivada de
:
Aqui, usamos novamente a Regra do Produto, come .
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Aplicando a Regra do Produto:
Passo 7
Agora, juntando tudo para a segunda derivada:
Resposta
A primeira derivada de é e a segunda derivada é .