Determine a transformada de Laplace das seguintes funções, definidas para (Escolher dois para entregar).

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre a transformada de Laplace! O enunciado pede para determinar a transformada de Laplace de duas funções definidas para . A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar entender o que é a Transformada de Laplace e como aplicá-la em funções diferentes. Vou escolher duas funções para mostrar como fazer isso passo a passo.

Passo 2

Função 1:
Primeiro, vamos encontrar a transformada de Laplace da função exponencial .
A Transformada de Laplace é definida por:
No nosso caso, , então substituímos na integral:
Agora, integramos:
Para essa integral convergir, precisamos que . Então:
Portanto:

Passo 3

Função 2:
Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace da função , que é uma função em degrau que vale 1 até e depois zero.
Primeiro, reescrevemos a função usando a função degrau de Heaviside, :
A Transformada de Laplace da função degrau é . Então, aplicando isso:
Portanto:

Resposta

A Transformada de Laplace das funções escolhidas são:
  1. Para :
  1. Para :

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Resolva os problemas de valor inicial, utilizando o método da transformada de Laplace (Escolher um para entregar).