Determine as derivadas, com a regra da cadeia:
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a derivada da função usando a regra da cadeia. A função que vamos derivar é:
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, especificamente as Regras da Cadeia e do Quociente.
O que precisamos para resolver: Vamos usar a Regra do Quociente para derivar essa função, que envolve derivar tanto o numerador quanto o denominador e aplicar a Regra da Cadeia para as potências.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que serão derivadas usando a Regra do Quociente. A Regra do Quociente diz que se temos uma função
, então a derivada
é:
No nosso caso:
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
, ou seja,
. Para isso, usamos a Regra da Cadeia, que é útil quando temos uma função composta. A Regra da Cadeia para uma potência diz que:
Aplicando isso a
:
Passo 4
Agora, vamos derivar
, ou seja,
. Usaremos novamente a Regra da Cadeia:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos aplicar a Regra do Quociente:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, observe que tanto no numerador quanto no denominador temos potências de
. Podemos reduzir as potências no numerador.
No primeiro termo do numerador:
No segundo termo do numerador:
Podemos fatorar
em comum:
Simplificando as potências:
Passo 7
Agora, vamos simplificar o que está dentro dos colchetes:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine o intervalo e o raio de convergência das seguintes séries de potências .
(b)
(b)
Determine as derivadas, com a regra da cadeia:
Escreva as seguintes funções como uma série de potências e forneça os intervalos de convergência.
©
©
Encontre primeiros 4 termos da série de Taylor para as seguintes funções:
(b) centrada em
.
(b)