Determine as derivadas, com a regra da cadeia: y = ((x^3 + 4)^5) / ((1 - 2x^2)^3) Resp: 3 x (x^3 + 4)^4 (5 x - 6 x^3 + 16) / (1 - 2 x^2)^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a derivada da função usando a regra da cadeia. A função que vamos derivar é:
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, especificamente as Regras da Cadeia e do Quociente.
O que precisamos para resolver: Vamos usar a Regra do Quociente para derivar essa função, que envolve derivar tanto o numerador quanto o denominador e aplicar a Regra da Cadeia para as potências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que serão derivadas usando a Regra do Quociente. A Regra do Quociente diz que se temos uma função , então a derivada é:
No nosso caso:

Passo 3

Vamos calcular a derivada de , ou seja, . Para isso, usamos a Regra da Cadeia, que é útil quando temos uma função composta. A Regra da Cadeia para uma potência diz que:
Aplicando isso a :

Passo 4

Agora, vamos derivar , ou seja, . Usaremos novamente a Regra da Cadeia:

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a Regra do Quociente:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, observe que tanto no numerador quanto no denominador temos potências de . Podemos reduzir as potências no numerador.
No primeiro termo do numerador:
No segundo termo do numerador:
Podemos fatorar em comum:
Simplificando as potências:

Passo 7

Agora, vamos simplificar o que está dentro dos colchetes:

Resposta

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