Determine o intervalo e o raio de convergência das seguintes séries de potências .
(b)
(b)
Passo 1
Ok, vamos lá! Primeiro, entendi que a gente precisa encontrar o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências:
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
O Teste da Razão diz que para a série
, calculamos o limite:
Se
, a série converge; se
, diverge; e se
, o teste não conclui.
Passo 3
Vamos identificar
da nossa série:
Agora, calculamos
:
Passo 4
Agora, vamos montar a razão
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos analisar cada parte:
-
que, quando , se aproxima de . -
cresce sem limite, mas multiplicado por , precisamos que o produto seja menor que 1 para convergir.
Passo 6
Então, temos:
Para que
:
Passo 7
Isolando
:
O raio de convergência
é o valor que está multiplicando
, aqui temos:
Passo 8
Agora, para encontrar o intervalo de convergência, resolvemos a desigualdade:
Dividindo por 2:
Então, o intervalo é:
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.
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Determine se a série converge ou diverge. Se a série convergir, dê seu valor.
(d)
(d)
Determine as derivadas, com a regra da cadeia:
Resp:
Escreva as seguintes funções como uma série de potências e forneça os intervalos de convergência.
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