Determine o intervalo e o raio de convergência das seguintes séries de potências .
(b) sumn=0^infty n^2 n+14^3 n(2 x+17)^n

Passo 1

Ok, vamos lá! Primeiro, entendi que a gente precisa encontrar o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências:
sumn=0^infty n^2n+14^3n(2x + 17)^n
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

O Teste da Razão diz que para a série L = limn to infty | an+1an | , calculamos o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não conclui.

Passo 3

Vamos identificar an = n^2n+14^3n(2x + 17)^n da nossa série:
an+1 = (n+1)^2(n+1)+14^3(n+1)(2x + 17)^n+1
Agora, calculamos :

Passo 4

Agora, vamos montar a razão an+1an = (n+1)^2n+34^3n+3(2x + 17)^n+1 cdot 4^3nn^2n+1(2x + 17)^n :
Simplificando:
an+1an = (n+1)^2n+3n^2n+1 cdot 14^3 cdot (2x + 17)
= ( n+1n )^2n+1 cdot (n+1)^2 cdot (2x + 17)64

Passo 5

Vamos analisar cada parte:
  1. que, quando , se aproxima de .
  2. cresce sem limite, mas multiplicado por , precisamos que o produto seja menor que 1 para convergir.

Passo 6

Então, temos:
L = limn to infty e^2 cdot (2x + 17)64
Para que e^2 cdot |2x + 17|64 < 1 :

Passo 7

Isolando |2x + 17| < 64e^2 :
R = 32e^2
O raio de convergência é o valor que está multiplicando , aqui temos:

Passo 8

Agora, para encontrar o intervalo de convergência, resolvemos a desigualdade:
|2x + 17| < 64e^2
Dividindo por 2:
|x + 172| < 32e^2
Então, o intervalo é:
( -172 - 32e^2, -172 + 32e^2 )

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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