Determine o intervalo e o raio de convergência das seguintes séries de potências .
(b)
(b)
Passo 1
Ok, vamos lá! Primeiro, entendi que a gente precisa encontrar o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências:
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
O Teste da Razão diz que para a série
, calculamos o limite:
Se
, a série converge; se
, diverge; e se
, o teste não conclui.
Passo 3
Vamos identificar
an = n^2n+14^3n(2x + 17)^n da nossa série:
Agora, calculamos
:
Passo 4
Agora, vamos montar a razão
an+1an = (n+1)^2n+34^3n+3(2x + 17)^n+1 cdot 4^3nn^2n+1(2x + 17)^n :
Simplificando:
Passo 5
Vamos analisar cada parte:
-
que, quando , se aproxima de . -
cresce sem limite, mas multiplicado por , precisamos que o produto seja menor que 1 para convergir.
Passo 6
Então, temos:
Para que
e^2 cdot |2x + 17|64 < 1 :
Passo 7
Isolando
|2x + 17| < 64e^2 :
O raio de convergência
é o valor que está multiplicando
, aqui temos:
Passo 8
Agora, para encontrar o intervalo de convergência, resolvemos a desigualdade:
Dividindo por 2:
Então, o intervalo é:
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.