Determine o intervalo e o raio de convergência das seguintes séries de potências .
(b)

Passo 1

Ok, vamos lá! Primeiro, entendi que a gente precisa encontrar o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências:
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

O Teste da Razão diz que para a série , calculamos o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não conclui.

Passo 3

Vamos identificar da nossa série:
Agora, calculamos :

Passo 4

Agora, vamos montar a razão :
Simplificando:

Passo 5

Vamos analisar cada parte:
  1. que, quando , se aproxima de .
  2. cresce sem limite, mas multiplicado por , precisamos que o produto seja menor que 1 para convergir.

Passo 6

Então, temos:
Para que :

Passo 7

Isolando :
O raio de convergência é o valor que está multiplicando , aqui temos:

Passo 8

Agora, para encontrar o intervalo de convergência, resolvemos a desigualdade:
Dividindo por 2:
Então, o intervalo é:

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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Determine as derivadas, com a regra da cadeia:
Determine se a série converge ou diverge. Se a série convergir, dê seu valor.
(d)
Determine as derivadas, com a regra da cadeia: Resp:
Escreva as seguintes funções como uma série de potências e forneça os intervalos de convergência.
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