Determine as derivadas das seguintes funções.
(f)
.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções dentro de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. A função dada é:
Podemos reescrever a raiz quadrada como uma potência fracionária:
Passo 3
Agora, vamos identificar a função externa e a função interna para aplicar a regra da cadeia. Aqui, a função externa é
e a função interna é
.
Passo 4
A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta
é:
Então, precisamos derivar a função externa em relação a
e a função interna em relação a
.
Passo 5
Vamos derivar a função externa
em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos derivar a função interna
em relação a
:
Passo 7
Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:
Substituindo
de volta por
:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão final:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Determine as derivadas das seguintes funções.
(d) .
(d)
Determine as derivadas das seguintes funções.
© .
©
Obtenha uma série de potência de
para representar cada função e determine o intervalo que em que isso ocorre.
Sugestão:
Resp.
d)
Sugestão:
Resp.
d)
Mostre, a partir da definição geral de derivada, que: