Obtenha uma série de potência de x para representar cada função e determine o intervalo que em que isso ocorre.
Sugestão: 11-x=sumn=0^infty x^n ;|x|<1
16-x-x^2
Resp.
d) 15 sumn=0^infty[(-1)^n3^n+1+12^n+1] x^n ;|x|<2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma série de potência em que represente a função e descobrir para quais valores de essa série funciona. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e teoria de séries, especialmente a série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Para facilitar, vamos reescrever o denominador de uma forma que pareça mais com a fórmula da série geométrica que a gente já conhece: , válida para .

Passo 3

Vamos fatorar o denominador 6 - x - x^2 = -(x^2 + x - 6) . Primeiro, rearranjamos os termos:
x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)
Agora, fatoramos o polinômio quadrático:
6 - x - x^2 = -(x + 3)(x - 2)
Então:

Passo 4

Agora, a expressão fica:
16 - x - x^2 = -1(x + 3)(x - 2)
Para separar isso em frações mais simples, usamos frações parciais. Queremos encontrar números -1(x + 3)(x - 2) = Ax + 3 + Bx - 2 e tais que:

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por -1 = A(x - 2) + B(x + 3) , temos:
-1 = A(2 - 2) + B(2 + 3) Rightarrow -1 = 0 + 5B Rightarrow B = -15
Agora, escolhemos valores de -1 = A(-3 - 2) + B(-3 + 3) Rightarrow -1 = -5A + 0 Rightarrow A = 15 que simplifiquem a equação:
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Então, temos:
-1(x + 3)(x - 2) = 1/5x + 3 - 1/5x - 2
Simplificando:
16 - x - x^2 = 15 ( 1x + 3 - 1x - 2 )

Passo 7

Agora, queremos expressar cada fração como uma série de potência. Para isso, vamos reescrever cada termo de forma a se encaixar na fórmula da série geométrica.
Para 1x + 3 = 13 cdot 11 - (-x3) , podemos reescrever como:
1x - 2 = 12 cdot 11 - x2
E para :

Passo 8

Aplicando a série geométrica:
11 - r = sumn=0^infty r^n para |r| < 1
Temos:
1x + 3 = 13 sumn=0^infty (-x3)^n = sumn=0^infty (-1)^n3^n+1 x^n
1x - 2 = 12 sumn=0^infty (x2)^n = sumn=0^infty 12^n+1 x^n

Passo 9

Substituindo de volta na expressão original:
16 - x - x^2 = 15 ( sumn=0^infty (-1)^n3^n+1 x^n - sumn=0^infty 12^n+1 x^n )
Simplificando:
16 - x - x^2 = 15 sumn=0^infty ( (-1)^n3^n+1 + 12^n+1 ) x^n

Resposta

A série de potência que representa 16 - x - x^2 = 15 sumn=0^infty [ (-1)^n3^n+1 + 12^n+1 ] x^n é:
E essa representação é válida para .

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