Obtenha uma série de potência de para representar cada função e determine o intervalo que em que isso ocorre.
Sugestão:

Resp.
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma série de potência em que represente a função e descobrir para quais valores de essa série funciona. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e teoria de séries, especialmente a série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Para facilitar, vamos reescrever o denominador de uma forma que pareça mais com a fórmula da série geométrica que a gente já conhece: , válida para .

Passo 3

Vamos fatorar o denominador . Primeiro, rearranjamos os termos:
Agora, fatoramos o polinômio quadrático:
Então:

Passo 4

Agora, a expressão fica:
Para separar isso em frações mais simples, usamos frações parciais. Queremos encontrar números e tais que:

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por , temos:
Agora, escolhemos valores de que simplifiquem a equação:
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Então, temos:
Simplificando:

Passo 7

Agora, queremos expressar cada fração como uma série de potência. Para isso, vamos reescrever cada termo de forma a se encaixar na fórmula da série geométrica.
Para , podemos reescrever como:
E para :

Passo 8

Aplicando a série geométrica:
Temos:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão original:
Simplificando:

Resposta

A série de potência que representa é:
E essa representação é válida para .

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Determine as derivadas das seguintes funções.
(f) .
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(d) .
Mostre, a partir da definição geral de derivada, que:
Utilize a definição geral de derivada e os resultados dos exercícios 2 e 4 para obter as derivadas das seguintes funções:
(a) .