Obtenha uma série de potência de
para representar cada função e determine o intervalo que em que isso ocorre.
Sugestão:
Resp.
d)
Sugestão:
Resp.
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma série de potência em
que represente a função
e descobrir para quais valores de
essa série funciona. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e teoria de séries, especialmente a série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Para facilitar, vamos reescrever o denominador de uma forma que pareça mais com a fórmula da série geométrica que a gente já conhece:
, válida para
.
Passo 3
Vamos fatorar o denominador
. Primeiro, rearranjamos os termos:
Agora, fatoramos o polinômio quadrático:
Então:
Passo 4
Agora, a expressão fica:
Para separar isso em frações mais simples, usamos frações parciais. Queremos encontrar números
e
tais que:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Agora, escolhemos valores de
que simplifiquem a equação:
- Para
: - Para
:
Passo 6
Então, temos:
Simplificando:
Passo 7
Agora, queremos expressar cada fração como uma série de potência. Para isso, vamos reescrever cada termo de forma a se encaixar na fórmula da série geométrica.
Para
, podemos reescrever como:
E para
:
Passo 8
Aplicando a série geométrica:
Temos:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão original:
Simplificando:
Resposta
A série de potência que representa
é:
E essa representação é válida para
.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas das seguintes funções.
(f) .
(f)
Determine as derivadas das seguintes funções.
(d) .
(d)
Mostre, a partir da definição geral de derivada, que:
Utilize a definição geral de derivada e os resultados dos exercícios 2 e 4 para obter as derivadas das seguintes funções:
(a) .
(a)