Mostre, a partir da definição geral de derivada, que:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos mostrar, usando a definição geral de derivada, que a derivada do produto de duas funções
e
é igual a
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre regras de derivação de funções. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada e trabalhar com limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição geral de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é dada por:
No nosso caso, queremos encontrar a derivada do produto
. Então, vamos aplicar essa definição para
:
Passo 3
Agora, precisamos manipular a expressão no numerador para facilitar o cálculo do limite. Vamos adicionar e subtrair
:
Isso simplifica para:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Podemos separar o limite em duas partes:
Passo 5
Agora, analisamos cada limite separadamente:
-
(porque é contínua em ). -
(pela definição de derivada de ). -
(pela definição de derivada de ).
Então, substituindo esses limites: