Mostre, a partir da definição geral de derivada, que:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos mostrar, usando a definição geral de derivada, que a derivada do produto de duas funções e é igual a . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre regras de derivação de funções. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada e trabalhar com limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição geral de derivada. A derivada de uma função em um ponto é dada por:
No nosso caso, queremos encontrar a derivada do produto . Então, vamos aplicar essa definição para :

Passo 3

Agora, precisamos manipular a expressão no numerador para facilitar o cálculo do limite. Vamos adicionar e subtrair :
Isso simplifica para:

Passo 4

Substituindo de volta na expressão da derivada:
Podemos separar o limite em duas partes:

Passo 5

Agora, analisamos cada limite separadamente:
  1. (porque é contínua em ).
  2. (pela definição de derivada de ).
  3. (pela definição de derivada de ).
Então, substituindo esses limites:

Resposta

Exercícios relacionados

Obtenha uma série de potência de para representar cada função e determine o intervalo que em que isso ocorre.
Sugestão:

Resp.
d)
Determine as derivadas das seguintes funções.
(f) .
Utilize a definição geral de derivada e os resultados dos exercícios 2 e 4 para obter as derivadas das seguintes funções:
(a) .
Determine as anti-derivadas (primitivas) das seguintes funções.
(a) .