Determine se as sequências convergem ou divergem e encontre o seu limite.
Passo 1
Então, temos o exercício que pede para verificar se a sequência
converge ou diverge, e se converge, qual é o seu limite. Vamos precisar entender sobre sequências e limites, especialmente quando lidamos com funções racionais (ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da sequência à medida que
cresce muito, ficando muito grande. Quando
tende ao infinito, os termos com maior potência de
(neste caso,
) vão dominar o comportamento da fração.
Passo 3
No numerador, o termo que mais influencia quando
é grande é
. Nos outros termos (
e
), como
está ao quadrado, eles se tornam menos significativos comparados a
à medida que
aumenta.
Passo 4
No denominador, de maneira similar, o termo dominante é
. O
se torna insignificante conforme
cresce.
Passo 5
Então, podemos simplificar nossa análise olhando apenas para os termos dominantes:
Passo 6
Agora, simplificando a fração:
Isso significa que, à medida que
fica muito grande, a sequência
se aproxima de
.
Passo 7
Como a sequência se aproxima de um número específico, isso quer dizer que ela converge. Portanto, o limite da sequência é esse valor para o qual ela converge.
Resposta
A sequência converge e o seu limite é
.
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