Determine se as sequências convergem ou divergem e encontre o seu limite.

Passo 1

Então, temos o exercício que pede para verificar se a sequência converge ou diverge, e se converge, qual é o seu limite. Vamos precisar entender sobre sequências e limites, especialmente quando lidamos com funções racionais (ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da sequência à medida que cresce muito, ficando muito grande. Quando tende ao infinito, os termos com maior potência de (neste caso, ) vão dominar o comportamento da fração.

Passo 3

No numerador, o termo que mais influencia quando é grande é . Nos outros termos ( e ), como está ao quadrado, eles se tornam menos significativos comparados a à medida que aumenta.

Passo 4

No denominador, de maneira similar, o termo dominante é . O se torna insignificante conforme cresce.

Passo 5

Então, podemos simplificar nossa análise olhando apenas para os termos dominantes:

Passo 6

Agora, simplificando a fração:
Isso significa que, à medida que fica muito grande, a sequência se aproxima de .

Passo 7

Como a sequência se aproxima de um número específico, isso quer dizer que ela converge. Portanto, o limite da sequência é esse valor para o qual ela converge.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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