Determine os determinantes, verificando as relações trigonométricas:
a) |ccsen(x) & -cos (x) sen(y) & cos (x)|
b) |ccsen(x) & -cos (x) cos (x) & sen(x)|
c) |cc2 sen(x) & 3 cos (x) 1-2 cos (x) & 3 sen(x)+2|
d) |lllog a & log b 1 / 2 & 1 / 4|
e) |cc2 x^2 & 2 x^4-m x & x^3-1|

Passo 1

Beleza, galera! Vamos começar com a parte a). O que a gente tem aqui é uma matriz 2x2 com funções trigonométricas dentro. Nosso objetivo é calcular o determinante dessa matriz utilizando as relações trigonométricas que conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 2x2. Se tivermos uma matriz:
a & b c & d
O determinante é dado por: .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à matriz que temos na parte a):
Então, o determinante será:

Passo 4

Simplificando a expressão:
Podemos fatorar det = sen(x)cos(x) + cos(x)sen(y) :

Passo 5

Então, o determinante final para a parte a) é:

Passo 6

Vamos para a parte b). Novamente, temos uma matriz 2x2 com funções trigonométricas.

Passo 7

A matriz dada é:
Aplicando a fórmula do determinante:

Passo 8

Simplificando:
E sabemos pela identidade trigonométrica que:

Passo 9

Portanto, o determinante para a parte b) é:
det = 1

Passo 10

Agora, na parte c), temos uma matriz um pouco mais complexa com combinações de senos e cossenos.

Passo 11

A matriz é:
Vamos calcular o determinante usando 2sen(x) & 3cos(x) 1 - 2cos(x) & 3sen(x) + 2 :

Passo 12

Expandindo as multiplicações:

Passo 13

Agora, vamos reorganizar os termos:
Usando a identidade :
Então:

Passo 14

Portanto, o determinante final para a parte c) é:

Passo 15

Vamos seguir para a parte d), que envolve logaritmos.

Passo 16

A matriz é:
log a & log b 12 & 14
Calculando o determinante:
det = log(a) cdot 14 - log(b) cdot 12

Passo 17

Simplificando:
det = log(a)4 - log(b)2
Podemos escrever isso como:
det = log(a) - 2log(b)4

Passo 18

Então, o determinante para a parte d) é:
det = log(a) - 2log(b)4

Passo 19

Por fim, vamos para a parte e), que envolve polinômios.

Passo 20

A matriz é:
2x^2 & 2x^4 - m x & x^3 - 1
Aplicando a fórmula do determinante:
det = 2x^2(x^3 - 1) - (2x^4 - m)x

Passo 21

Expandindo as multiplicações:
det = 2x^5 - 2x^2 - 2x^5 + m x

Passo 22

Simplificando os termos:
2x^5 - 2x^5 = 0
Então:
det = -2x^2 + m x

Passo 23

Reorganizando:
det = m x - 2x^2

Resposta

a)
b)
c)
d)
e)

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