Determine os determinantes, verificando as relações trigonométricas:
a)
b)
c)
d)
e)

Passo 1

Beleza, galera! Vamos começar com a parte a). O que a gente tem aqui é uma matriz 2x2 com funções trigonométricas dentro. Nosso objetivo é calcular o determinante dessa matriz utilizando as relações trigonométricas que conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 2x2. Se tivermos uma matriz:
O determinante é dado por: .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à matriz que temos na parte a):
Então, o determinante será:

Passo 4

Simplificando a expressão:
Podemos fatorar :

Passo 5

Então, o determinante final para a parte a) é:

Passo 6

Vamos para a parte b). Novamente, temos uma matriz 2x2 com funções trigonométricas.

Passo 7

A matriz dada é:
Aplicando a fórmula do determinante:

Passo 8

Simplificando:
E sabemos pela identidade trigonométrica que:

Passo 9

Portanto, o determinante para a parte b) é:

Passo 10

Agora, na parte c), temos uma matriz um pouco mais complexa com combinações de senos e cossenos.

Passo 11

A matriz é:
Vamos calcular o determinante usando :

Passo 12

Expandindo as multiplicações:

Passo 13

Agora, vamos reorganizar os termos:
Usando a identidade :
Então:

Passo 14

Portanto, o determinante final para a parte c) é:

Passo 15

Vamos seguir para a parte d), que envolve logaritmos.

Passo 16

A matriz é:
Calculando o determinante:

Passo 17

Simplificando:
Podemos escrever isso como:

Passo 18

Então, o determinante para a parte d) é:

Passo 19

Por fim, vamos para a parte e), que envolve polinômios.

Passo 20

A matriz é:
Aplicando a fórmula do determinante:

Passo 21

Expandindo as multiplicações:

Passo 22

Simplificando os termos:
Então:

Passo 23

Reorganizando:

Resposta

a)
b)
c)
d)
e)

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Sobre as bases e , sabe-se que ,
(a) Escreva a matriz de mudança da base para a base .
(Produto igual à identidade) Seja a matriz .
13.2 Existe matriz tal que ? Se a resposta for afirmativa, determinar uma tal matriz .
Determine tal que seja possível:
a)
b)
Determine para que a reta de equação intercepte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5. R.: