Determine os determinantes, verificando as relações trigonométricas:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, galera! Vamos começar com a parte a). O que a gente tem aqui é uma matriz 2x2 com funções trigonométricas dentro. Nosso objetivo é calcular o determinante dessa matriz utilizando as relações trigonométricas que conhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 2x2. Se tivermos uma matriz:
O determinante é dado por: .
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à matriz que temos na parte a):
Então, o determinante será:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Podemos fatorar :
Passo 5
Então, o determinante final para a parte a) é:
Passo 6
Vamos para a parte b). Novamente, temos uma matriz 2x2 com funções trigonométricas.
Passo 7
A matriz dada é:
Aplicando a fórmula do determinante:
Passo 8
Simplificando:
E sabemos pela identidade trigonométrica que:
Passo 9
Portanto, o determinante para a parte b) é:
Passo 10
Agora, na parte c), temos uma matriz um pouco mais complexa com combinações de senos e cossenos.
Passo 11
A matriz é:
Vamos calcular o determinante usando :
Passo 12
Expandindo as multiplicações:
Passo 13
Agora, vamos reorganizar os termos:
Usando a identidade :
Então:
Passo 14
Portanto, o determinante final para a parte c) é:
Passo 15
Vamos seguir para a parte d), que envolve logaritmos.
Passo 16
A matriz é:
Calculando o determinante:
Passo 17
Simplificando:
Podemos escrever isso como:
Passo 18
Então, o determinante para a parte d) é:
Passo 19
Por fim, vamos para a parte e), que envolve polinômios.