Determine x tal que seja possível:
a) |cc2 x & 5 x+3 1 & x|=0
b) |cc2 x & x-2 4 x+5 & 3 x-1|=11

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os valores de que satisfazem duas equações de determinantes de matrizes. Vamos precisar entender como calcular o determinante de uma matriz e depois resolver as equações resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz a & b c & d . Se tiveremos uma matriz:
D = a cdot d - b cdot c
O determinante dessa matriz é dado por:

Passo 3

Vamos resolver a parte a) do exercício:
|cc 2x & 5x + 3 1 & x | = 0
Aplicando a fórmula do determinante:
D = (2x) cdot (x) - (5x + 3) cdot (1) = 0

Passo 4

Simplificando a expressão:
2x cdot x - (5x + 3) = 0 2x^2 - 5x - 3 = 0
Agora, temos uma equação quadrática que precisamos resolver para encontrar .

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática x = -b pm raizb^2 - 4ac2a usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 6

Calculando o discriminante ( De):
Como , teremos duas soluções reais.

Passo 7

Encontrando as soluções para x = 5 pm raiz494 = 5 pm 74 :
x1 = 5 + 74 = 124 = 3 x2 = 5 - 74 = -24 = -0,5
Então,

Passo 8

Agora, vamos resolver a parte b) do exercício:
|cc 2x & x - 2 4x + 5 & 3x - 1 | = 11
Aplicando a fórmula do determinante:
D = (2x) cdot (3x - 1) - (x - 2) cdot (4x + 5) = 11

Passo 9

Expandindo a expressão:
2x cdot 3x - 2x cdot 1 - x cdot 4x - x cdot 5 + 2 cdot 4x + 2 cdot 5 = 11 6x^2 - 2x - 4x^2 - 5x + 8x + 10 = 11

Passo 10

Simplificando os termos:
(6x^2 - 4x^2) + (-2x -5x + 8x) + (10 - 11) = 0 2x^2 + x -1 = 0
Agora, temos outra equação quadrática para resolver.

Passo 11

Vamos novamente usar a fórmula de Bhaskara para resolver x = -b pm raizb^2 - 4ac2a :
Onde , e .

Passo 12

Calculando o discriminante ( De):
Como , teremos duas soluções reais.

Passo 13

Encontrando as soluções para x = -1 pm raiz94 = -1 pm 34 :
x1 = -1 + 34 = 24 = 0,5 x2 = -1 - 34 = -44 = -1
Então,

Resposta

Os valores de que satisfazem as condições são:
a) e
b) e

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