Determine qual deve ser a fração de A na saída do tanque decorridos cinco minutos se no instante zero a w2 for alterado de forma persistente de 2 kg / min para 20 kg / min (perturbação degrau).

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um tanque onde, no instante zero, a vazão w2 é alterada de forma persistente de 2 kg/min para 20 kg/min. Queremos descobrir qual será a fração de A na saída do tanque após cinco minutos dessa alteração.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Resposta ao Degrau em sistemas de controle, que nos ajudam a entender como um sistema reage a mudanças abruptas nas entradas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma perturbação degrau. É quando uma variável no sistema é alterada de repente de um valor constante para outro e permanece nesse novo valor. Nesse caso, a vazão w2 muda de 2 kg/min para 20 kg/min instantaneamente.

Passo 3

Em sistemas de primeira ordem, a resposta a um degrau pode ser descrita pela equação:
y(t) = yfinal + (y0 - yfinal) cdot e^-t/tau
Onde:
  • y(t) é a saída no tempo t.
  • yfinal é o valor final da saída após o sistema estabilizar.
  • y0 é o valor inicial da saída antes da alteração.
  • tau é a constante de tempo do sistema.
  • e é a base do logaritmo natural.

Passo 4

Precisamos determinar os valores de yfinal, y0 e tau.
  • Valor Inicial ( y0): Antes da alteração, a vazão é 2 kg/min. Vamos assumir que a fração de A na saída correspondente a essa vazão inicial é A0.
  • Valor Final ( yfinal): Após a alteração, a vazão passa para 20 kg/min. A fração de A na saída atingirá um novo valor Afinal.
  • Constante de Tempo ( tau): Essa constante depende das características do sistema, como volume do tanque e taxas de mistura. Sem informações específicas, consideraremos que tau é conhecida ou dada.

Passo 5

Substituindo esses valores na equação da resposta ao degrau, temos:
A(t) = Afinal + (A0 - Afinal) cdot e^-t/tau
Queremos encontrar A(5), a fração de A após cinco minutos.

Passo 6

Substituindo t = 5 minutos na equação:
A(5) = Afinal + (A0 - Afinal) cdot e^-5/tau

Passo 7

Para completar a solução, precisamos dos valores de A0, Afinal e tau. Se assumirmos que A0 e Afinal são proporcionais às vazões, podemos relacionar as frações com as vazões:
AfinalA0 = 202 = 10
Então, Afinal = 10 cdot A0.
Substituindo de volta:
A(5) = 10A0 + (A0 - 10A0) cdot e^-5/tau = 10A0 - 9A0 cdot e^-5/tau

Resposta

A fração de A na saída do tanque após cinco minutos é:
A(5) = 10A0 - 9A0 cdot e^-5/tau

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