Determine qual deve ser a fração de
na saída do tanque decorridos cinco minutos se no instante zero a
for alterado de forma persistente de
para
(perturbação degrau).
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um tanque onde, no instante zero, a vazão
é alterada de forma persistente de
para
. Queremos descobrir qual será a fração de
na saída do tanque após cinco minutos dessa alteração.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Resposta ao Degrau em sistemas de controle, que nos ajudam a entender como um sistema reage a mudanças abruptas nas entradas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma perturbação degrau. É quando uma variável no sistema é alterada de repente de um valor constante para outro e permanece nesse novo valor. Nesse caso, a vazão
muda de
para
instantaneamente.
Passo 3
Em sistemas de primeira ordem, a resposta a um degrau pode ser descrita pela equação:
Onde:
-
é a saída no tempo . -
é o valor final da saída após o sistema estabilizar. -
é o valor inicial da saída antes da alteração. -
é a constante de tempo do sistema. -
é a base do logaritmo natural.
Passo 4
Precisamos determinar os valores de
,
e
.
-
Valor Inicial (
): Antes da alteração, a vazão é . Vamos assumir que a fração de na saída correspondente a essa vazão inicial é . -
Valor Final (
): Após a alteração, a vazão passa para . A fração de na saída atingirá um novo valor . -
Constante de Tempo (
): Essa constante depende das características do sistema, como volume do tanque e taxas de mistura. Sem informações específicas, consideraremos que é conhecida ou dada.
Passo 5
Substituindo esses valores na equação da resposta ao degrau, temos:
Queremos encontrar
, a fração de
após cinco minutos.
Passo 6
Substituindo
minutos na equação:
Passo 7
Para completar a solução, precisamos dos valores de
,
e
. Se assumirmos que
e
são proporcionais às vazões, podemos relacionar as frações com as vazões:
Então,
.
Substituindo de volta:
Resposta
A fração de
na saída do tanque após cinco minutos é: