Se U(s)=(1-e^-s) / s, qual será o valor de y(t) quando tempo tender ao infinito?

Passo 1

Então, temos o exercício: Se , qual será o valor de quando o tempo tende ao infinito? Vamos trabalhar com transformadas de Laplace e entender como determinar o comportamento de quando vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que é a transformada de Laplace de alguma função no domínio do tempo. Nossa tarefa é encontrar correspondente a .

Passo 3

Observando , podemos separar em duas frações: e . Sabemos que é a transformada de no domínio do tempo.

Passo 4

Para , lembramos que a propriedade de atraso na transformada de Laplace nos diz que corresponde a , onde é a função degrau unitário. Então, é a transformada de .

Passo 5

Agora, juntando as duas partes, temos:
U(s) = 1s - e^-ss
Isso corresponde a:
y(t) = 1 - u(t - 1)
Ou seja, é igual a 1 menos um degrau que começa em .

Passo 6

Queremos saber o comportamento de y(t) = 1 - 1 = 0 quando tende ao infinito. O degrau vale 0 para e 1 para . Portanto, para muito grande:

Resposta

Quando o tempo tende ao infinito, .

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