Os três lados de um triângulo retângulo formam uma PA de razão 5, determine as medidas dos lados desse triângulo. (Dica: Use o teorema de Pitágoras.)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um triângulo retângulo cujos três lados estão em Progressão Aritmética (PA) com razão 5. Nosso objetivo é encontrar as medidas desses três lados. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Pitágoras, que relaciona os lados de um triângulo retângulo.
Passo 2
Como os lados estão em PA com razão 5, podemos chamar os lados de
,
e
, onde
é o primeiro termo da PA. Nesse caso,
representa o menor lado do triângulo.
Passo 3
No triângulo retângulo, o maior lado é a hipotenusa. Portanto,
será a hipotenusa, e os outros dois lados,
e
, serão os catetos.
Passo 4
Aplicamos o Teorema de Pitágoras, que diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa:
Passo 5
Vamos expandir os termos da equação:
Passo 6
Simplificamos a equação somando os termos semelhantes:
Passo 7
Subtraímos
de ambos os lados para obter uma equação quadrática igualada a zero:
Passo 8
Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como medidas de lados não podem ser negativas, descartamos
.
Passo 9
Agora que temos
, podemos encontrar os demais lados:
Resposta
Os lados do triângulo retângulo são
,
e
.