Determine o diâmetro de uma adutora, por gravidade, de 850 m de comprimento, ligando dois reservatórios mantidos em níveis constantes, com diferença de cotas de 17,5 m, para transportar uma vazão de água de 30 l/s. Material da tubulação, aço galvanizado com costura novo, varepsilon=0,15 mm.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o diâmetro de uma adutora (um tipo de tubulação) que tem 850 metros de comprimento. Essa tubulação liga dois reservatórios que estão em alturas diferentes, com uma diferença de 17,5 metros. Queremos que ela transporte 30 litros por segundo de água usando gravidade. A tubulação é de aço galvanizado nova, e tem uma rugosidade (ε) de 0,15 mm.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Hidráulica, mais especificamente a equação de Darcy-Weisbach, que nos ajuda a relacionar a velocidade da água, o diâmetro da tubulação, a perda de carga e a vazão.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. A vazão Q é dada em litros por segundo, então vamos converter para metros cúbicos por segundo:
Q = 30 , l/s = 0,03 , m³/s ³

Passo 3

Vamos usar a equação de Darcy-Weisbach para relacionar a perda de carga com a velocidade da água:
hf = f cdot LD cdot v²2g ²
Onde:
  • Q = A cdot v é a perda de carga (17,5 m)
  • é o fator de atrito
  • é o comprimento da tubulação (850 m)
  • é o diâmetro da tubulação (o que queremos encontrar)
  • é a velocidade da água
  • é a aceleração da gravidade (≈9,81 m/s²)
Mas para encontrar , precisamos relacionar com a vazão:
Onde ² é a área da seção transversal.

Passo 4

Vamos substituir v = QA = 4Qpi D² na equação da vazão:
hf = f cdot LD cdot (4Qpi D²)²2g ²
Agora, substituímos 17,5 = f cdot 850D cdot 16Q²pi² D⁴ cdot 2g na equação de Darcy-Weisbach:
17,5 = f cdot 850 cdot 16 cdot Q²2 cdot pi² cdot g cdot D⁵ ²²
Simplificando:
²²
²²

Passo 5

Agora, precisamos considerar o fator de atrito 17,5 = 0,02 cdot 850 cdot 16 cdot 0,03��2 cdot pi² cdot 9,81 cdot D⁵ , que depende do regime de escoamento (laminar ou turbulento). Para fluxos em tubulações grandes como essa, geralmente é turbulento. Podemos usar a equação de Colebrook-White para estimar 17,5 = 0,02 cdot 850 cdot 16 cdot 0,00092 cdot 9,8696 cdot 9,81 cdot D⁵ , mas para simplificar, vamos assumir um valor típico de 17,5 = 0,02 cdot 12,24192,86 cdot D⁵ .
Substituindo os valores:
17,5 = 0,2448192,86 cdot D⁵ ²
Calculando os numeradores e denominadores:
17,5 cdot 192,86 cdot D⁵ = 0,2448
3375,05 cdot D⁵ = 0,2448
D⁵ = 0,24483375,05
Multiplicando ambos os lados por D⁵ ≈ 7,25 times 10^-5 :
D = (7,25 times 10^-5)^1/5
D ≈ 0,171 , m
Dividindo ambos os lados por 3375,05:
Agora, tiramos a quinta raiz:

Resposta

O diâmetro da adutora necessário é aproximadamente 0,171 metros.

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