Determine o diâmetro equivalente de uma tubulaçảo de PVC que recalca 45 L s^-1 de água, estando os tubos num plano horizontal com uma diferença de pressão entre suas extremidades de 7 m. Considere o comprimento da tubulaçảo de 100 m . Despreze as perdas de carga localizada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o diâmetro equivalente de uma tubulação de PVC que está transportando 45 litros por segundo de água. Sabemos que a diferença de pressão entre as extremidades da tubulação é de 7 metros, o comprimento da tubulação é de 100 metros e podemos ignorar as perdas de carga localizadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Mecânica dos Fluidos, especificamente a Equação de Darcy-Weisbach para perdas de carga em tubos.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o fluxo de água de litros por segundo para metros cúbicos por segundo, já que as unidades no Sistema Internacional são mais convenientes para nossos cálculos.
Q = 45 , L/s = 0,045 , m^3/s

Passo 3

Agora, vamos relacionar o fluxo ( Q = V cdot A ), a velocidade da água ( A = pi D^24 ) e o diâmetro da tubulação ( V = 4Qpi D^2 ). A relação é dada por:
Onde é a área da seção transversal do tubo:
Portanto:

Passo 4

Vamos aplicar a Equação de Darcy-Weisbach para calcular a perda de carga ( hf = f cdot LD cdot V^22g ) devido ao atrito na tubulação:
Onde:
  • é o fator de atrito de Darcy,
  • é o comprimento da tubulação (100 m),
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a perda de carga (7 m).

Passo 5

Substituindo a expressão da velocidade 7 = f cdot 100D cdot (4 cdot 0,045pi D^2)^22 cdot 9,81 na equação de perda de carga, temos:
7 = f cdot 100D cdot 16 cdot 0,002025pi^2 D^419,62
Simplificando essa equação para resolver 7 = f cdot 100 cdot 16 cdot 0,002025pi^2 cdot 19,62 cdot D^5 , podemos rearrumar os termos:
7 = f cdot 3,24pi^2 D^5

Passo 6

Para encontrar o diâmetro 7 = 0,02 cdot 3,24pi^2 D^5 , precisamos estimar o fator de atrito 7 = 0,0648pi^2 D^5 . Vamos assumir que o fluxo é turbulento, o que é razoável para essa situação. Usando a Relação de Colebrook-White, podemos iterativamente encontrar D^5 = 0,06487 cdot pi^2 para diferentes valores de D^5 = 0,06487 cdot 9,8696 . Porém, para simplificar, vamos considerar que D^5 = 0,064869,0872 approx 0,000939 é aproximadamente 0,02 para tubos de PVC em fluxo turbulento.
Substituindo D = raiz[5]0,000939 approx 0,16 , m :

Resposta

O diâmetro equivalente da tubulação de PVC é aproximadamente 0,16 metros.

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