Determine a diferença de fase em milissegundos entre as seguintes formas de onda:
& v=2 cos (omega t-30^circ) & i=5 sen(omega t+60^circ)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas ondas: uma para a voltagem $ v $ e outra para a corrente $ i $. O objetivo é descobrir qual é a diferença de fase entre elas, mas em milissegundos. Para isso, vamos precisar entender sobre fases de ondas e como elas se relacionam com o tempo. Vamos precisar usar algumas fórmulas de trigonometria e conceitos de sinais senoidais.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nas equações das ondas:
& v = 2 cos (omega t - 30^circ) & i = 5 sin(omega t + 60^circ)
Perceba que a voltagem está em função de cosseno e a corrente em seno. Para facilitar a comparação das fases, vamos converter a função seno em cosseno. Sabemos que:
sin(theta) = cos(theta - 90^circ)
Então, podemos reescrever a corrente da seguinte maneira:
i = 5 cos(omega t + 60^circ - 90^circ) = 5 cos(omega t - 30^circ)
Agora, as duas ondas estão expressas em termos de cosseno, o que facilita a comparação de suas fases.

Passo 3

Agora, vamos identificar as fases das duas ondas:
  • Voltagem ($ v $): tem uma fase de $ -30^{\circ} $
  • Corrente ($ i $): tem uma fase de $ -30^{\circ} $
Parece que as duas ondas têm a mesma fase, então a diferença de fase inicial seria zero. Mas, atenção! Vamos verificar novamente as contas para ter certeza.
Reescrevemos a corrente como $ 5 \cos\left(\omega t - 30^{\circ}\right) $, que realmente tem a mesma fase que a voltagem. Portanto, a diferença de fase entre elas é:
v

Passo 4

Agora, para converter essa diferença de fase de graus para tempo em milissegundos, precisamos usar a relação entre fase, frequência e período de uma onda. A fórmula geral para a diferença de tempo ($ \Delta t Deç \Delta \phi $) é:
De
Onde $ T $ é o período da onda, que está relacionado à frequência ($ f $) pela fórmula:
De
E a frequência está relacionada à frequência angular ($ \omega $) por:
T
Substituindo $ f $ na fórmula do período:
f
Agora, substituindo $ T $ na fórmula da diferença de tempo:
T = 1f
Mas lembre-se que $ \Delta \phi = 0^{\circ} $, então:
omega

Resposta

A diferença de fase entre as ondas é 0 milissegundos.

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