Utilize a regra da cadeia para determinar . .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar a regra da cadeia para encontrar a derivada de em relação a , onde , e . A regra da cadeia é útil quando temos funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. Aqui, depende de e , que por sua vez dependem de . Então, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , além das derivadas de e em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
Essas derivadas nos dizem como muda quando apenas ou mudam, mantendo a outra variável constante.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a .
Essas derivadas indicam como e mudam conforme varia.

Passo 4

A regra da cadeia para derivadas parciais nos diz que:
Vamos substituir as derivadas que calculamos nos passos anteriores.

Passo 5

Substituindo os valores:
Agora, vamos substituir e na expressão.

Passo 6

Substituindo:
Simplificando os expoentes:

Passo 7

Simplificando mais:
Agora, somamos os termos semelhantes:

Resposta

A derivada de em relação a é .

Exercícios relacionados

Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de são iguais. .
Utilize a regra da cadeia para determinar . .
Determine o diferencial da função: .
Encontre a derivada direcional de f em P na direção e no sentido de um vetor que faça, no sentido anti-horário, um ângulo com o eixo positivo. .