Utilize a regra da cadeia para determinar
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar a regra da cadeia para encontrar a derivada de
em relação a
, onde
,
e
. A regra da cadeia é útil quando temos funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. Aqui,
depende de
e
, que por sua vez dependem de
. Então, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, além das derivadas de
e
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Essas derivadas nos dizem como
muda quando apenas
ou
mudam, mantendo a outra variável constante.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Essas derivadas indicam como
e
mudam conforme
varia.
Passo 4
A regra da cadeia para derivadas parciais nos diz que:
Vamos substituir as derivadas que calculamos nos passos anteriores.
Passo 5
Substituindo os valores:
Agora, vamos substituir
e
na expressão.
Passo 6
Substituindo:
Simplificando os expoentes:
Passo 7
Simplificando mais:
Agora, somamos os termos semelhantes:
Resposta
A derivada de
em relação a
é
.
Exercícios relacionados
Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de
são iguais.
.
Utilize a regra da cadeia para determinar
.
.
Determine o diferencial da função:
.
Encontre a derivada direcional de f em P na direção e no sentido de um vetor que faça, no sentido anti-horário, um ângulo
com o eixo
positivo.
.