Determine a diferencial das funções abaixo.
d) f(x, y, z) = e^(x*y*z) - x^2*y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar a diferencial da função . Isso faz parte do estudo de diferenciais em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a diferencial. A diferencial de uma função de várias variáveis, como , é uma aproximação linear de como a função muda quando as variáveis , e mudam um pouquinho. Matematicamente, é dada por:
Ou seja, a diferencial é a soma das derivadas parciais multiplicadas pelas variações correspondentes de cada variável.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por . Isso significa que tratamos e como constantes e derivamos em relação a :
Para a primeira parte, usamos a regra da cadeia:
Para a segunda parte:
Então, juntando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , . Aqui, tratamos e como constantes:
Primeira parte com a regra da cadeia:
Segunda parte:
Então:

Passo 5

Por último, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , . Aqui, e são constantes:
A segunda parte é fácil, porque não depende de :
Para a primeira parte:
Então:

Resposta

Juntando tudo, a diferencial da função é:

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