Determine a diferencial das funções abaixo.
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.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar a diferencial da função
. Isso faz parte do estudo de diferenciais em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a diferencial. A diferencial de uma função
de várias variáveis, como
, é uma aproximação linear de como a função muda quando as variáveis
,
e
mudam um pouquinho. Matematicamente, é dada por:
Ou seja, a diferencial é a soma das derivadas parciais multiplicadas pelas variações correspondentes de cada variável.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Isso significa que tratamos
e
como constantes e derivamos em relação a
:
Para a primeira parte, usamos a regra da cadeia:
Para a segunda parte:
Então, juntando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
. Aqui, tratamos
e
como constantes:
Primeira parte com a regra da cadeia:
Segunda parte:
Então:
Passo 5
Por último, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
. Aqui,
e
são constantes:
A segunda parte é fácil, porque
não depende de
:
Para a primeira parte:
Então:
Resposta
Juntando tudo, a diferencial da função é: