Indique as regiões de R^2 onde f é diferenciável.
d) f(x, y) = ln(x y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para indicar as regiões no plano R^2 onde a função é diferenciável. Para isso, vamos precisar entender sobre funções diferenciáveis e as condições necessárias para uma função como essa ser diferenciável.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber onde a função está definida. A função logaritmo natural só existe quando o argumento z é positivo, ou seja, . Então, para f(x, y) existir, o produto xy deve ser maior que zero:

Passo 3

Agora, vamos pensar nas regiões do plano onde . Isso acontece em dois casos:
  1. Ambos x e y são positivos: Se e , então .
  2. Ambos x e y são negativos: Se e , então também.
Essas duas situações definem duas regiões no plano R^2 onde a função está bem comportada.

Passo 4

Em seguida, precisamos verificar a diferenciabilidade da função nessas regiões. A função é composta pela função logaritmo e pela função produto. Sabemos que a função é diferenciável para e que o produto de funções diferenciáveis também é diferenciável. Portanto, onde , a função f(x, y) será diferenciável.

Passo 5

Então, juntando tudo, concluímos que a função é diferenciável nas regiões onde , ou seja:
  • Quando e
  • Quando e

Resposta

A função é diferenciável nas regiões do plano R^2 onde , isto é:
  • Para e
  • Para e

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