Indique as regiões de
onde
é diferenciável.
d)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para indicar as regiões no plano
onde a função
é diferenciável. Para isso, vamos precisar entender sobre funções diferenciáveis e as condições necessárias para uma função como essa ser diferenciável.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber onde a função
está definida. A função logaritmo natural
só existe quando o argumento
é positivo, ou seja,
. Então, para
existir, o produto
deve ser maior que zero:
Passo 3
Agora, vamos pensar nas regiões do plano onde
. Isso acontece em dois casos:
- Ambos x e y são positivos: Se
e , então . - Ambos x e y são negativos: Se
e , então também.
Essas duas situações definem duas regiões no plano
onde a função está bem comportada.
Passo 4
Em seguida, precisamos verificar a diferenciabilidade da função nessas regiões. A função
é composta pela função logaritmo e pela função produto. Sabemos que a função
é diferenciável para
e que o produto de funções diferenciáveis também é diferenciável. Portanto, onde
, a função
será diferenciável.
Passo 5
Então, juntando tudo, concluímos que a função
é diferenciável nas regiões onde
, ou seja:
- Quando
e - Quando
e
Resposta
A função
é diferenciável nas regiões do plano
onde
, isto é:
- Para
e - Para
e