Se possível, determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico das funções dadas, nos pontos indicados:
d) e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função nos pontos e . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais para encontrar o plano tangente e, a partir dele, determinar a reta normal. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um plano tangente. O plano tangente a um gráfico de função em um ponto é o plano que “toca” o gráfico naquele ponto e tem a mesma inclinação que o gráfico naquele local. Para encontrar a equação desse plano, usamos a fórmula:
Aqui, é o ponto onde queremos encontrar o plano tangente, e e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de :
Essas derivadas vão nos ajudar a encontrar as inclinações no ponto específico.
Passo 4
Agora, vamos aplicar essas derivadas nos pontos dados. Primeiro, para :
Isso significa que as inclinações em e são zero no ponto .
Passo 5
Usando a fórmula do plano tangente para :
Então, o plano tangente em é .
Passo 6
Agora, para encontrar a reta normal, precisamos da direção perpendicular ao plano tangente. Essa direção é dada pelo vetor gradiente de no ponto, que é .
Para :
A equação paramétrica da reta normal será:
Onde é o ponto e é o vetor gradiente.
Então:
Passo 7
Agora, vamos repetir o processo para o ponto .
Primeiro, calculamos as derivadas parciais em :
Passo 8
Usando a fórmula do plano tangente para :
Então, o plano tangente em é .
Passo 9
Para a reta normal em , usamos o vetor gradiente .