Se possível, determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico das funções dadas, nos pontos indicados:
d) f(x, y) = 2x^2 - 3y^2 P1 = (0, 0, 0) e P2 = (1, 1, -1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função nos pontos e . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais para encontrar o plano tangente e, a partir dele, determinar a reta normal. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um plano tangente. O plano tangente a um gráfico de função em um ponto é o plano que “toca” o gráfico naquele ponto e tem a mesma inclinação que o gráfico naquele local. Para encontrar a equação desse plano, usamos a fórmula:
Aqui, é o ponto onde queremos encontrar o plano tangente, e e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Essas derivadas vão nos ajudar a encontrar as inclinações no ponto específico.

Passo 4

Agora, vamos aplicar essas derivadas nos pontos dados. Primeiro, para :
Isso significa que as inclinações em e são zero no ponto .

Passo 5

Usando a fórmula do plano tangente para :
Então, o plano tangente em é .

Passo 6

Agora, para encontrar a reta normal, precisamos da direção perpendicular ao plano tangente. Essa direção é dada pelo vetor gradiente de no ponto, que é .
Para :
A equação paramétrica da reta normal será:
Onde é o ponto e é o vetor gradiente.
Então:

Passo 7

Agora, vamos repetir o processo para o ponto .
Primeiro, calculamos as derivadas parciais em :

Passo 8

Usando a fórmula do plano tangente para :
Então, o plano tangente em é .

Passo 9

Para a reta normal em , usamos o vetor gradiente .
A equação paramétrica da reta normal será:

Resposta

Plano Tangente e Reta Normal em :

  • Plano Tangente:
  • Reta Normal:

Plano Tangente e Reta Normal em :

  • Plano Tangente:
  • Reta Normal:

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