Determine o diferencial total da função z = x * e^(2 * y) + e^(-x * y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra determinar o diferencial total da função . Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre diferenciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e e depois combinar essas derivadas para encontrar o diferencial total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o diferencial total. O diferencial total de uma função de duas variáveis, como , é dado por:
Ou seja, ele nos mostra como uma pequena variação em e afeta .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é .
A função é:
Derivando termo a termo em relação a :
  1. Para , a derivada em relação a é simplesmente , já que é uma constante em relação a .
  2. Para , usamos a regra da cadeia. A derivada é .
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é .
Novamente, derivando termo a termo:
  1. Para , a derivada em relação a é , usando a regra da cadeia.
  2. Para , também usamos a regra da cadeia. A derivada é .
Então:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, vamos substituir na fórmula do diferencial total:

Resposta

O diferencial total da função é:

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