Determine o diferencial total da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra determinar o diferencial total da função
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre diferenciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e depois combinar essas derivadas para encontrar o diferencial total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o diferencial total. O diferencial total de uma função de duas variáveis, como
, é dado por:
Ou seja, ele nos mostra como uma pequena variação em
e
afeta
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
A função é:
Derivando termo a termo em relação a
:
- Para
, a derivada em relação a é simplesmente , já que é uma constante em relação a . - Para
, usamos a regra da cadeia. A derivada é .
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Novamente, derivando termo a termo:
- Para
, a derivada em relação a é , usando a regra da cadeia. - Para
, também usamos a regra da cadeia. A derivada é .
Então:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, vamos substituir na fórmula do diferencial total:
Resposta
O diferencial total da função
é:
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Encontre
e
e defina seus domínios.
(a) e
(b) e
(a)
(b)
Dê exemplo de uma Interpretação geométrica para a diferenciabilidade de
num ponto da superficie
Resolva as equações em
:
Identifique as curvas de nível
e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados:
.