Identifique as curvas de nível
e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar as curvas de nível da função
para os valores de
e esboçar essas curvas. Basicamente, estamos trabalhando com curvas de nível, que são curvas no plano
onde a função
assume um valor constante
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as equações que descrevem essas curvas e como elas se comportam no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Substituindo a função dada, temos:
Essa é a equação geral das curvas de nível para a nossa função. Dependendo do valor de
, o tipo da curva pode mudar. Vamos explorar isso para cada valor de
fornecido.
Passo 3
Vamos começar com
:
Podemos reescrever isso como:
Essa é a equação de uma hipérbole que abre para cima e para baixo.
Passo 4
Agora, para
:
Rearranjando:
Novamente, temos uma hipérbole que abre para cima e para baixo, mas com uma abertura diferente da anterior.
Passo 5
Para
:
Isso pode ser fatorado como:
Então, as soluções são:
Essas são duas linhas retas que se cruzam no origem, formando um “X”.
Passo 6
Agora, para
:
Essa é a equação de uma hipérbole que abre para a direita e para a esquerda.
Passo 7
Finalmente, para
:
Essa também é uma hipérbole que abre para a direita e para a esquerda, similar à anterior, mas com uma abertura diferente.
Passo 8
Resumindo, para cada valor de
, temos diferentes tipos de hipérboles ou linhas retas:
-
: Hipérbole que abre para cima e para baixo. -
: Hipérbole que abre para cima e para baixo. -
: Duas linhas retas que se cruzam no origem. -
: Hipérbole que abre para a direita e para a esquerda. -
: Hipérbole que abre para a direita e para a esquerda.
Resposta
As curvas de nível de
para
são:
- Para
e : Hipérboles que abrem para cima e para baixo. - Para
: Duas linhas retas e . - Para
e : Hipérboles que abrem para a direita e para a esquerda.
O esboço dessas curvas mostrará hipérboles em posições e aberturas diferentes conforme os valores de.
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Esboce o gráfico de: