Identifique as curvas de nível e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar as curvas de nível da função para os valores de e esboçar essas curvas. Basicamente, estamos trabalhando com curvas de nível, que são curvas no plano onde a função assume um valor constante . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as equações que descrevem essas curvas e como elas se comportam no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Substituindo a função dada, temos:
Essa é a equação geral das curvas de nível para a nossa função. Dependendo do valor de , o tipo da curva pode mudar. Vamos explorar isso para cada valor de fornecido.

Passo 3

Vamos começar com :
Podemos reescrever isso como:
Essa é a equação de uma hipérbole que abre para cima e para baixo.

Passo 4

Agora, para :
Rearranjando:
Novamente, temos uma hipérbole que abre para cima e para baixo, mas com uma abertura diferente da anterior.

Passo 5

Para :
Isso pode ser fatorado como:
Então, as soluções são:
Essas são duas linhas retas que se cruzam no origem, formando um “X”.

Passo 6

Agora, para :
Essa é a equação de uma hipérbole que abre para a direita e para a esquerda.

Passo 7

Finalmente, para :
Essa também é uma hipérbole que abre para a direita e para a esquerda, similar à anterior, mas com uma abertura diferente.

Passo 8

Resumindo, para cada valor de , temos diferentes tipos de hipérboles ou linhas retas:
  • : Hipérbole que abre para cima e para baixo.
  • : Hipérbole que abre para cima e para baixo.
  • : Duas linhas retas que se cruzam no origem.
  • : Hipérbole que abre para a direita e para a esquerda.
  • : Hipérbole que abre para a direita e para a esquerda.

Resposta

As curvas de nível de para são:
  • Para e : Hipérboles que abrem para cima e para baixo.
  • Para : Duas linhas retas e .
  • Para e : Hipérboles que abrem para a direita e para a esquerda.
    O esboço dessas curvas mostrará hipérboles em posições e aberturas diferentes conforme os valores de .

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Esboce o gráfico de: