Encontre
e
e defina seus domínios.
(a)
e
(b)
e
(a)
(b)
Passo 1
Este exercício nos pede para encontrar as funções
,
,
e
, além de definir seus domínios, para duas situações diferentes. Vamos precisar entender como realizar operações com funções (soma, subtração, multiplicação e divisão) e também como determinar o domínio de cada função resultante, ou seja, os valores de
para os quais as funções estão definidas.
Passo 2
Vamos começar com a parte a):
Primeiro, vamos calcular
.
Para somar duas funções, simplesmente somamos suas expressões correspondentes.
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular
.
Subtrair duas funções envolve subtrair suas expressões correspondentes.
Simplificando:
Passo 4
Em seguida, vamos multiplicar
por
, ou seja, calcular
.
Multiplicar duas funções significa multiplicar suas expressões correspondentes.
Vamos distribuir os termos:
Simplificando:
Organizando os termos por ordem decrescente dos expoentes:
Passo 5
Agora, vamos dividir
por
, ou seja, calcular
.
Dividir duas funções significa dividir suas expressões correspondentes.
Passo 6
Vamos agora definir os domínios das funções resultantes:
-
Para
, e : Essas operações envolvem apenas polinômios, que estão definidos para todos os números reais. Portanto, o domínio dessas funções é: -
Para
: Além de estar definido para todos os números reais, precisamos garantir que o denominador não seja zero, pois divisão por zero não é permitida.Portanto, o domínio deé:
Passo 7
Agora, vamos para a parte b):
Primeiro, precisamos lembrar que para funções que envolvem raízes quadradas, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero, pois a raiz quadrada de um número negativo não está definida nos números reais.
Passo 8
Vamos calcular
,
,
e
:
-
Soma (
) e Subtração ( ): -
Multiplicação (
): -
Divisão (
):
Passo 9
Agora, vamos definir os domínios das funções resultantes:
-
Domínio de
: -
Domínio de
:
Para as operações
,
,
e
, precisamos que ambas
e
estejam definidas. Além disso, para
, o denominador
não pode ser zero.
Então, o domínio dessas funções é a interseção dos domínios de
e
:
E para
, devemos excluir os valores onde
:
Portanto, o domínio de
é:
Resposta
b) As funções resultantes são:
-
, com domínio -
, com domínio -
, com domínio -
, com domínio
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