Encontre e e defina seus domínios.
(a) e
(b) e

Passo 1

Este exercício nos pede para encontrar as funções , , e , além de definir seus domínios, para duas situações diferentes. Vamos precisar entender como realizar operações com funções (soma, subtração, multiplicação e divisão) e também como determinar o domínio de cada função resultante, ou seja, os valores de para os quais as funções estão definidas.

Passo 2

Vamos começar com a parte a):
Primeiro, vamos calcular .
Para somar duas funções, simplesmente somamos suas expressões correspondentes.
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular .
Subtrair duas funções envolve subtrair suas expressões correspondentes.
Simplificando:

Passo 4

Em seguida, vamos multiplicar por , ou seja, calcular .
Multiplicar duas funções significa multiplicar suas expressões correspondentes.
Vamos distribuir os termos:
Simplificando:
Organizando os termos por ordem decrescente dos expoentes:

Passo 5

Agora, vamos dividir por , ou seja, calcular .
Dividir duas funções significa dividir suas expressões correspondentes.

Passo 6

Vamos agora definir os domínios das funções resultantes:
  • Para , e :
    Essas operações envolvem apenas polinômios, que estão definidos para todos os números reais. Portanto, o domínio dessas funções é:
  • Para :
    Além de estar definido para todos os números reais, precisamos garantir que o denominador não seja zero, pois divisão por zero não é permitida.
    Portanto, o domínio de é:

Passo 7

Agora, vamos para a parte b):
Primeiro, precisamos lembrar que para funções que envolvem raízes quadradas, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero, pois a raiz quadrada de um número negativo não está definida nos números reais.

Passo 8

Vamos calcular , , e :
  • Soma ( ) e Subtração ( ):
  • Multiplicação ( ):
  • Divisão ( ):

Passo 9

Agora, vamos definir os domínios das funções resultantes:
  • Domínio de :
  • Domínio de :
Para as operações , , e , precisamos que ambas e estejam definidas. Além disso, para , o denominador não pode ser zero.
Então, o domínio dessas funções é a interseção dos domínios de e :
E para , devemos excluir os valores onde :
Portanto, o domínio de é:

Resposta

b) As funções resultantes são:
  • , com domínio
  • , com domínio
  • , com domínio
  • , com domínio

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