Verifique a validade das seguintes aproximações lineares no ponto
. $(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a aproximação linear
é válida no ponto
. Isso envolve entender aproximação linear e ponto de expansão. Pra resolver isso, vamos usar a expansão de Taylor de primeiro grau, que basicamente aproxima uma função por uma reta tangente naquele ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função original no ponto
. A função é
.
Substituindo
e
:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a aproximação linear no ponto
, que é
.
Substituindo
e
:
Temos que
, igual ao valor da função original. Legal, até aqui tá batendo!
Passo 4
Para garantir que a aproximação é válida, precisamos checar se as derivadas parciais da função original e da aproximação linear são iguais no ponto
.
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais da função
:
- Derivada parcial em relação a
:
No ponto
:
- Derivada parcial em relação a
:
No ponto
:
Agora, as derivadas da aproximação linear
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Comparando as derivadas:
Como as derivadas parciais da função original e da aproximação linear são iguais no ponto
, a aproximação linear está correta.
Resposta
A aproximação linear
é válida no ponto
.
Exercícios relacionados
Determine a diferencial total das funções abaixo. $(a)
Verifique a validade das seguintes aproximações lineares no ponto
. $(a)
Explique porque a função é diferenciável no ponto indicado e encontre a linearização
naquele ponto. $(a)
ponto
Determine a diferencial total das funções abaixo. $(b)