Verifique a validade das seguintes aproximações lineares no ponto . $(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a aproximação linear é válida no ponto . Isso envolve entender aproximação linear e ponto de expansão. Pra resolver isso, vamos usar a expansão de Taylor de primeiro grau, que basicamente aproxima uma função por uma reta tangente naquele ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função original no ponto . A função é .
Substituindo e :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos verificar a aproximação linear no ponto , que é .
Substituindo e :
Temos que , igual ao valor da função original. Legal, até aqui tá batendo!

Passo 4

Para garantir que a aproximação é válida, precisamos checar se as derivadas parciais da função original e da aproximação linear são iguais no ponto .
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais da função :
  • Derivada parcial em relação a :
No ponto :
  • Derivada parcial em relação a :
No ponto :
Agora, as derivadas da aproximação linear :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 5

Comparando as derivadas:
Como as derivadas parciais da função original e da aproximação linear são iguais no ponto , a aproximação linear está correta.

Resposta

A aproximação linear é válida no ponto .

Exercícios relacionados

Determine a diferencial total das funções abaixo. $(a)
Verifique a validade das seguintes aproximações lineares no ponto . $(a)
Explique porque a função é diferenciável no ponto indicado e encontre a linearização naquele ponto. $(a) ponto
Determine a diferencial total das funções abaixo. $(b)