Explique porque a função é diferenciável no ponto indicado e encontre a linearização
naquele ponto. $(a)
ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente explicar por que a função
é diferenciável no ponto
e encontrar a linearização
nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade e linearização de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é diferenciável no ponto
. Uma função é diferenciável em um ponto se todas as suas derivadas parciais existem e são contínuas próximo a esse ponto. Então, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial de
em relação a
:
Essas derivadas existem para todo
e são polinômios, que são funções contínuas. Portanto,
é diferenciável em
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a linearização
da função no ponto
. A fórmula da linearização de
em torno de um ponto
é:
Nesse caso,
e
.
Passo 5
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos as derivadas parciais no ponto
:
Passo 6
Agora, substituímos esses valores na fórmula da linearização:
Vamos simplificar isso:
Resposta
A função
é diferenciável no ponto
e sua linearização nesse ponto é:
Exercícios relacionados
Verifique a validade das seguintes aproximações lineares no ponto
. $(b)
Determine a diferencial total das funções abaixo. $(a)
Determine a diferencial total das funções abaixo. $(b)
Determine as derivadas parciais indicadas: