Explique porque a função é diferenciável no ponto indicado e encontre a linearização naquele ponto. $(a) ponto

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente explicar por que a função é diferenciável no ponto e encontrar a linearização nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade e linearização de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é diferenciável no ponto . Uma função é diferenciável em um ponto se todas as suas derivadas parciais existem e são contínuas próximo a esse ponto. Então, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :
Essas derivadas existem para todo e são polinômios, que são funções contínuas. Portanto, é diferenciável em .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a linearização da função no ponto . A fórmula da linearização de em torno de um ponto é:
Nesse caso, e .

Passo 5

Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos as derivadas parciais no ponto :

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula da linearização:
Vamos simplificar isso:

Resposta

A função é diferenciável no ponto e sua linearização nesse ponto é:

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Verifique a validade das seguintes aproximações lineares no ponto . $(b)
Determine a diferencial total das funções abaixo. $(a)
Determine a diferencial total das funções abaixo. $(b)
Determine as derivadas parciais indicadas: