Determine a diferencial total das funções abaixo. $(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos encontrar a diferencial total dessa função. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre diferenciais de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a diferencial total. Para uma função de duas variáveis, , a diferencial total é dada por:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Dada a função:
A derivada parcial em relação a é:
Como é uma constante em relação a , podemos aplicar a regra do produto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Ainda com a função:
A derivada parcial em relação a é:
Utilizando a regra da cadeia para derivadas, sabemos que:
Portanto,

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar a diferencial total :
Substituindo as derivadas que encontramos:

Resposta

A diferencial total da função é:

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Verifique a validade das seguintes aproximações lineares no ponto . $(a)
Se varia de para , obtenha e compare os valores e dz.
Verifique a validade das seguintes aproximações lineares no ponto . $(b)
Explique porque a função é diferenciável no ponto indicado e encontre a linearização naquele ponto. $(a) ponto