Se varia de para , obtenha e compare os valores e dz.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo mudanças em uma função de duas variáveis. A função dada é , e queremos analisar como varia quando os pontos mudam de para . Para isso, vamos precisar calcular duas grandezas: (a variação real de ) e (a variação aproximada usando diferenciais). Vamos passo a passo entender como fazer isso!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , que é a variação real de entre os dois pontos. Para isso, calculamos nos pontos inicial e final e subtraímos os valores.
Calculando no ponto inicial :
Calculando no ponto final :
Agora, a variação é:

Passo 3

Agora, vamos calcular , que é a variação aproximada de usando diferenciais. Para isso, precisamos das derivadas parciais de em relação a e .
Calculando as derivadas parciais:
Nos pontos iniciais :
Agora, calculamos e , que são as variações em e :
Usando a fórmula do diferencial:

Passo 4

Agora que temos e , vamos comparar os dois valores. Vemos que eles são muito próximos, o que indica que a aproximação feita usando diferenciais foi bastante precisa para pequenas variações em e .

Resposta

A variação real de é e a variação aproximada usando diferenciais é . Ambos os valores são quase iguais, mostrando que a aproximação foi eficaz.

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Obtenha equações para os planos tangentes à superfície nos pontos e .
Verifique que o ponto especificado realmente faz parte da superfície cuja equação está sendo dada e determine uma equação para o plano tangente naquele ponto. $(b) ponto
Verifique a validade das seguintes aproximações lineares no ponto . $(a)
Determine a diferencial total das funções abaixo. $(a)