Se
varia de
para
, obtenha e compare os valores
e dz.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo mudanças em uma função de duas variáveis. A função dada é
, e queremos analisar como
varia quando os pontos
mudam de
para
. Para isso, vamos precisar calcular duas grandezas:
(a variação real de
) e
(a variação aproximada usando diferenciais). Vamos passo a passo entender como fazer isso!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que é a variação real de
entre os dois pontos. Para isso, calculamos
nos pontos inicial e final e subtraímos os valores.
Calculando
no ponto inicial
:
Calculando
no ponto final
:
Agora, a variação
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular
, que é a variação aproximada de
usando diferenciais. Para isso, precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Nos pontos iniciais
:
Agora, calculamos
e
, que são as variações em
e
:
Usando a fórmula do diferencial:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos comparar os dois valores. Vemos que eles são muito próximos, o que indica que a aproximação feita usando diferenciais foi bastante precisa para pequenas variações em
e
.
Resposta
A variação real de
é
e a variação aproximada usando diferenciais é
. Ambos os valores são quase iguais, mostrando que a aproximação foi eficaz.
Exercícios relacionados
Obtenha equações para os planos tangentes à superfície
nos pontos
e
.
Verifique que o ponto especificado realmente faz parte da superfície cuja equação está sendo dada e determine uma equação para o plano tangente naquele ponto. $(b)
ponto
Verifique a validade das seguintes aproximações lineares no ponto
. $(a)
Determine a diferencial total das funções abaixo. $(a)