Verifique a validade das seguintes aproximações lineares no ponto . $(a)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a aproximação linear da função no ponto é igual a . Para isso, vamos usar o método da aproximação linear, que faz parte do cálculo multivariável, especificamente das expansões de Taylor de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função no ponto . Substituindo e na função:

Passo 3

Em seguida, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
Avaliando em :

Passo 4

Agora, a derivada parcial em relação a :
Avaliando em :

Passo 5

Agora, construímos a aproximação linear usando a fórmula:
No nosso caso, e , então:

Resposta

A aproximação linear está correta para a função no ponto .

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Se varia de para , obtenha e compare os valores e dz.
Obtenha equações para os planos tangentes à superfície nos pontos e .
Determine a diferencial total das funções abaixo. $(a)
Verifique a validade das seguintes aproximações lineares no ponto . $(b)