Verifique a validade das seguintes aproximações lineares no ponto
. $(a)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a aproximação linear da função
no ponto
é igual a
. Para isso, vamos usar o método da aproximação linear, que faz parte do cálculo multivariável, especificamente das expansões de Taylor de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor da função no ponto
. Substituindo
e
na função:
Passo 3
Em seguida, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
Avaliando em
:
Passo 4
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Avaliando em
:
Passo 5
Agora, construímos a aproximação linear usando a fórmula:
No nosso caso,
e
, então:
Resposta
A aproximação linear
está correta para a função
no ponto
.
Exercícios relacionados
Se
varia de
para
, obtenha e compare os valores
e dz.
Obtenha equações para os planos tangentes à superfície
nos pontos
e
.
Determine a diferencial total das funções abaixo. $(a)
Verifique a validade das seguintes aproximações lineares no ponto
. $(b)