Determine a diferencial total das seguintes funções multivariadas e em seguida escreva cada uma das derivadas de primeira e segunda ordem incluindo as derivadas mistas:
f(x, y) = ln(2 x) + 5 y^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, que é . Nosso objetivo aqui é encontrar a diferencial total dessa função. Depois disso, vamos calcular todas as derivadas de primeira e segunda ordem, incluindo aquelas chamadas de derivadas mistas. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções de várias variáveis e entender o que é diferencial total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada parcial. É a derivada de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. No nosso caso, vamos precisar encontrar as derivadas parciais de f com respeito a x e a y.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x, que chamamos de . A função é . Derivando em relação a x:
Sabemos que a derivada de em relação a x é , e a derivada de em relação a x é 0 (já que y é tratada como constante. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y, que chamamos de . Derivando em relação a y:
A derivada de em relação a y é 0, e a derivada de em relação a y é . Então:

Passo 5

Com as derivadas parciais em mãos, podemos escrever a diferencial total de f, que é dada por:
Substituindo e :

Passo 6

Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem. Isso inclui as derivadas parciais de segunda ordem e as derivadas mistas.
Primeiro, derivadas de segunda ordem em relação a cada variável:
Agora, as derivadas mistas:

Resposta

A diferencial total da função é:
As derivadas de primeira ordem são:
As derivadas de segunda ordem são:
As derivadas mistas são:

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