Determine a diferencial total das seguintes funções multivariadas e em seguida escreva cada uma das derivadas de primeira e segunda ordem incluindo as derivadas mistas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, que é . Nosso objetivo aqui é encontrar a diferencial total dessa função. Depois disso, vamos calcular todas as derivadas de primeira e segunda ordem, incluindo aquelas chamadas de derivadas mistas. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções de várias variáveis e entender o que é diferencial total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada parcial. É a derivada de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. No nosso caso, vamos precisar encontrar as derivadas parciais de com respeito a e a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . A função é . Derivando em relação a :
Sabemos que a derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é (já que é tratada como constante. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . Derivando em relação a :
A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é . Então:

Passo 5

Com as derivadas parciais em mãos, podemos escrever a diferencial total de , que é dada por:
Substituindo e :

Passo 6

Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem. Isso inclui as derivadas parciais de segunda ordem e as derivadas mistas.
Primeiro, derivadas de segunda ordem em relação a cada variável:
Agora, as derivadas mistas:

Resposta

A diferencial total da função é:
As derivadas de primeira ordem são:
As derivadas de segunda ordem são:
As derivadas mistas são:

Exercícios relacionados

Resolva os seguintes problemas (As figuras que auxiliam na resolução encontram-se na última página):
(a) Uma bóia sólida de altura e área transversal está parcialmente submergida na água. A densidade da água, , e a densidade do material da bóia, , são conhecidas . A bóia é tirada da posição de equilíbrio e começa a oscilar verticalmente, permanecendo sempre parte dela dentro da água.
Sabendo que a força de empuxo é igual a ao peso do fluído deslocado pela bóia, ache a equação diferencial que descreve as oscilações da bóia e daídetermine o período de oscilações.
Figura exercício 1 a)
Resolva os seguintes problemas (As figuras que auxiliam na resolução encontram-se na última página):
(b) A corrente (onde representa o tempo) que circula pelo circuito elétrico da figura, satisfaz a seguinte equação diferencial:
Determine sabendo que: e .
Dados
Figura exercício 1 b)
Determine a diferencial total das seguintes funções multivariadas e em seguida escreva cada uma das derivadas de primeira e segunda ordem incluindo as derivadas mistas:
Determine a diferencial total das seguintes funções multivariadas e em seguida escreva cada uma das derivadas de primeira e segunda ordem incluindo as derivadas mistas:
em que e , são constantes.