Determine a diferencial total das seguintes funções multivariadas e em seguida escreva cada uma das derivadas de primeira e segunda ordem incluindo as derivadas mistas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, que é
. Nosso objetivo aqui é encontrar a diferencial total dessa função. Depois disso, vamos calcular todas as derivadas de primeira e segunda ordem, incluindo aquelas chamadas de derivadas mistas. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções de várias variáveis e entender o que é diferencial total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada parcial. É a derivada de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. No nosso caso, vamos precisar encontrar as derivadas parciais de
com respeito a
e a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. A função é
. Derivando em relação a
:
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
(já que
é tratada como constante. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Derivando
em relação a
:
A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 5
Com as derivadas parciais em mãos, podemos escrever a diferencial total de
, que é dada por:
Substituindo
e
:
Passo 6
Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem. Isso inclui as derivadas parciais de segunda ordem e as derivadas mistas.
Primeiro, derivadas de segunda ordem em relação a cada variável:
Agora, as derivadas mistas:
Resposta
A diferencial total da função é:
As derivadas de primeira ordem são:
As derivadas de segunda ordem são:
As derivadas mistas são:
Exercícios relacionados
Resolva os seguintes problemas (As figuras que auxiliam na resolução encontram-se na última página):
(a) Uma bóia sólida de altura e área transversal
está parcialmente submergida na água. A densidade da água,
, e a densidade do material da bóia,
, são conhecidas
. A bóia é tirada da posição de equilíbrio e começa a oscilar verticalmente, permanecendo sempre parte dela dentro da água.
Sabendo que a força de empuxo é igual a ao peso do fluído deslocado pela bóia, ache a equação diferencial que descreve as oscilações da bóia e daídetermine o período de oscilações.
(a) Uma bóia sólida de altura
Sabendo que a força de empuxo é igual a ao peso do fluído deslocado pela bóia, ache a equação diferencial que descreve as oscilações da bóia e daídetermine o período de oscilações.
Figura exercício 1 a)
Resolva os seguintes problemas (As figuras que auxiliam na resolução encontram-se na última página):
(b) A corrente (onde
representa o tempo) que circula pelo circuito elétrico da figura, satisfaz a seguinte equação diferencial:
(b) A corrente
Determine
sabendo que:
e
.
Dados
Dados
Figura exercício 1 b)
Determine a diferencial total das seguintes funções multivariadas e em seguida escreva cada uma das derivadas de primeira e segunda ordem incluindo as derivadas mistas:
Determine a diferencial total das seguintes funções multivariadas e em seguida escreva cada uma das derivadas de primeira e segunda ordem incluindo as derivadas mistas:
em que
e
, são constantes.