Determine a diferencial total das seguintes funções multivariadas e em seguida escreva cada uma das derivadas de primeira e segunda ordem incluindo as derivadas mistas:
em que e , são constantes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo multivariado! A gente tem uma função , onde , e são constantes. Nosso objetivo é encontrar a diferencial total dessa função e depois calcular todas as derivadas de primeira e segunda ordem, incluindo as mistas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a diferencial total de uma função de duas variáveis, , é dada por:
Então, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a :
Aqui, tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a , que resulta em , e o termo da direita não depende de , então sua derivada é zero.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a :
Aqui, diferenciamos em relação a usando a regra do quociente, e em relação a , o que resulta em .

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, podemos escrever a diferencial total:

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de segunda ordem. Primeiro, a derivada de segunda ordem em relação a :
Isso porque a primeira derivada em relação a era , que não depende de .

Passo 7

Agora, a derivada de segunda ordem em relação a :
Aqui, diferenciamos novamente em relação a .

Passo 8

Finalmente, a derivada mista, derivando em relação a :
Ou seja, derivamos em relação a .

Resposta

A diferencial total da função é:
As derivadas de primeira ordem são:
As derivadas de segunda ordem são:

Exercícios relacionados

Determine a diferencial total das seguintes funções multivariadas e em seguida escreva cada uma das derivadas de primeira e segunda ordem incluindo as derivadas mistas:
Determine a diferencial total das seguintes funções multivariadas e em seguida escreva cada uma das derivadas de primeira e segunda ordem incluindo as derivadas mistas:
Utilizando a regra cíclica e recíproca quando necessário, determine a derivada parcial
para a seguinte função de duas variáveis
obs: eu quero que use as duas identidades de derivadas parciais para concluir esta questão.
Determine a solução geral das seguintes EDOs: