Determine a diferencial total das seguintes funções multivariadas e em seguida escreva cada uma das derivadas de primeira e segunda ordem incluindo as derivadas mistas:
em que
e
, são constantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo multivariado! A gente tem uma função
, onde
,
e
são constantes. Nosso objetivo é encontrar a diferencial total dessa função e depois calcular todas as derivadas de primeira e segunda ordem, incluindo as mistas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a diferencial total de uma função de duas variáveis,
, é dada por:
Então, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, tratamos
como uma constante e diferenciamos
em relação a
, que resulta em
, e o termo da direita não depende de
, então sua derivada é zero.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, diferenciamos
em relação a
usando a regra do quociente, e
em relação a
, o que resulta em
.
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, podemos escrever a diferencial total:
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de segunda ordem. Primeiro, a derivada de segunda ordem em relação a
:
Isso porque a primeira derivada em relação a
era
, que não depende de
.
Passo 7
Agora, a derivada de segunda ordem em relação a
:
Aqui, diferenciamos novamente
em relação a
.
Passo 8
Finalmente, a derivada mista, derivando
em relação a
:
Ou seja, derivamos
em relação a
.
Resposta
A diferencial total da função é:
As derivadas de primeira ordem são:
As derivadas de segunda ordem são:
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Utilizando a regra cíclica e recíproca quando necessário, determine a derivada parcial
para a seguinte função de duas variáveis
obs: eu quero que use as duas identidades de derivadas parciais para concluir esta questão.
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