Resolva os seguintes problemas (As figuras que auxiliam na resolução encontram-se na última página):
(b) A corrente
(onde
representa o tempo) que circula pelo circuito elétrico da figura, satisfaz a seguinte equação diferencial:
Determine
sabendo que:
e
.
Dados
Figura exercício 1 b)
(b) A corrente
Dados
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de corrente elétrica no circuito! O enunciado nos dá uma equação diferencial que relaciona a corrente
com seus derivados e alguns parâmetros do circuito, como indutância
, resistência
, capacitância
, e uma fonte de tensão alternada com amplitude
e frequência
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem e métodos para encontrar soluções gerais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada de forma mais clara:
Substituindo os valores fornecidos:
Simplificando o lado direito:
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (
) e uma solução particular (
).
Vamos começar encontrando
.
Passo 4
A equação homogênea associada é:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Multiplicando toda a equação por 2 para eliminar a fração:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas. Então, temos:
Passo 6
Com raízes complexas, a solução da equação homogênea é:
Onde
e
. Substituindo:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a solução particular
. A parte não homogênea da equação é
. Como o lado direito é um cosseno, tentamos uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 8
Calculando as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Passo 9
Simplificando os termos:
Multiplicando os coeficientes:
Observamos que alguns termos se cancelam:
Simplificando mais:
Passo 10
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de
e
:
Para
:
Para
:
Passo 11
Então, a solução particular é:
Passo 12
Agora, juntamos as soluções homogênea e particular para obter a solução geral:
Passo 13
Usamos as condições iniciais para determinar as constantes
e
. Sabemos que:
Substituindo
:
Então,
.
Passo 14
Agora, calculamos a derivada de
para usar a segunda condição inicial:
Como
, simplifica para:
Usando
:
Resolvendo para
:
Passo 15
Finalmente, substituímos
e
na solução geral:
Simplificando:
Resposta
A corrente no circuito é dada por: