Resolva os seguintes problemas (As figuras que auxiliam na resolução encontram-se na última página):
(b) A corrente (onde representa o tempo) que circula pelo circuito elétrico da figura, satisfaz a seguinte equação diferencial:
Determine sabendo que: e .
Dados
Figura exercício 1 b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de corrente elétrica no circuito! O enunciado nos dá uma equação diferencial que relaciona a corrente com seus derivados e alguns parâmetros do circuito, como indutância , resistência , capacitância , e uma fonte de tensão alternada com amplitude e frequência . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem e métodos para encontrar soluções gerais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada de forma mais clara:
Substituindo os valores fornecidos:
Simplificando o lado direito:
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea () e uma solução particular ().
Vamos começar encontrando .
Passo 4
A equação homogênea associada é:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):
Multiplicando toda a equação por 2 para eliminar a fração:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .
Calculando o discriminante ():
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas. Então, temos:
Passo 6
Com raízes complexas, a solução da equação homogênea é:
Onde e . Substituindo:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a solução particular . A parte não homogênea da equação é . Como o lado direito é um cosseno, tentamos uma solução particular da forma:
Onde e são constantes a serem determinadas.
Passo 8
Calculando as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:
Passo 9
Simplificando os termos:
Multiplicando os coeficientes:
Observamos que alguns termos se cancelam:
Simplificando mais:
Passo 10
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de e :
Para :
Para :
Passo 11
Então, a solução particular é:
Passo 12
Agora, juntamos as soluções homogênea e particular para obter a solução geral:
Passo 13
Usamos as condições iniciais para determinar as constantes e . Sabemos que:
Substituindo :
Então, .
Passo 14
Agora, calculamos a derivada de para usar a segunda condição inicial: