Resolva os seguintes problemas (As figuras que auxiliam na resolução encontram-se na última página):
(b) A corrente i(t) (onde t representa o tempo) que circula pelo circuito elétrico da figura, satisfaz a seguinte equação diferencial:
L d^2/dt^2 i + R d/dt i + 1/c i = V0 ω cos(ω t)
Determine i(t) sabendo que: i(0) = 0 e d/dt i(0) = 0.
Dados L = 10, R = 6, c = 2/5, V0 = 12 raiz(2), ω = 1/2
Figura exercício 1 b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de corrente elétrica no circuito! O enunciado nos dá uma equação diferencial que relaciona a corrente com seus derivados e alguns parâmetros do circuito, como indutância , resistência , capacitância , e uma fonte de tensão alternada com amplitude e frequência . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem e métodos para encontrar soluções gerais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada de forma mais clara:
Substituindo os valores fornecidos:
Simplificando o lado direito:

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea ( ) e uma solução particular ( ).
Vamos começar encontrando .

Passo 4

A equação homogênea associada é:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):
Multiplicando toda a equação por 2 para eliminar a fração:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .
Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas. Então, temos:

Passo 6

Com raízes complexas, a solução da equação homogênea é:
Onde e . Substituindo:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a solução particular . A parte não homogênea da equação é . Como o lado direito é um cosseno, tentamos uma solução particular da forma:
Onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 8

Calculando as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:

Passo 9

Simplificando os termos:
Multiplicando os coeficientes:
Observamos que alguns termos se cancelam:
Simplificando mais:

Passo 10

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de e :
Para :
Para :

Passo 11

Então, a solução particular é:

Passo 12

Agora, juntamos as soluções homogênea e particular para obter a solução geral:

Passo 13

Usamos as condições iniciais para determinar as constantes e . Sabemos que:
Substituindo :
Então, .

Passo 14

Agora, calculamos a derivada de para usar a segunda condição inicial:
Como , simplifica para:
Usando :
Resolvendo para :

Passo 15

Finalmente, substituímos e na solução geral:
Simplificando:

Resposta

A corrente no circuito é dada por:

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